IV. Теоремы моментов и кинетической энергии в относительном движении вокруг центра тяжести

350. Теорема моментов количеств движения в относительном движении вокруг центра тяжести.

Теорема моментов количеств движения может быть приложена, по доказанному, к движению системы относительно неподвижных осей или осей с постоянными направлениями, совершающих прямолинейное и равномерное переносное движение (334). Если мы желаем исследовать относительное движение системы по отношению к осям, движущимся произвольным образом, то нельзя будет применить эту теорему, не изменяя ее путем добавления некоторых поправочных членов, которые будут определены в теории относительного движения. Но существует такая частная система подвижных осей, что если изучать движения системы относительно этих осей, та можно будет применить теорему моментов количеств движения без всякого изменения. Этими частными осями являются оси, имеющие постоянное направление и проходящие через центр тяжести. Это обстоятельство выражают, говоря, что теорема моментов количеств движения может быть приложена к относительному. движению системы по отношению к осям постоянного направления, проходящим через ее центр тяжести.

Это можно доказать, комбинируя уравнения движения центра тяжести с уравнениями моментов в абсолютном движении. Одновременно это показывает, что новые уравнения, которые получатся, не будут независимыми от шести первых общих уравнений, установленных в разделе I.

Рассмотрим, как и выше (пп. 347 и 348), систему осей параллельных неподвижным осям и имеющих начало в центре тяжести. Будем исходить из уравнения моментов относительно точки О:

Сделаем в этом уравнении преобразование координат

Мы видели (348), что тогда левая часть приводится к виду

Правая часть равенства (1) напишется так:

Замечая, что

и принимая во внимание уравнение движения центра тяжести

мы приведем, наконец, уравнение (1) к виду

Таким образом, теорема доказана. Полученное уравнение (2) имеет тот же вид, что и уравнение (1), с той лишь разницей, что абсолютные координаты заменены координатами относительными.

Доказательство, основанное на теории относительного движения. К тому же результату можно прийти быстрее, исходя из теории относительного движения, что мы увидим в разделе II главы XXII.

Рис. 194.

Геометрическая интерпретация. Так же как и в случае абсолютного движения (п. 330) имеется простая геометрическая интерпретация этой теоремы. Пусть (рис. 194) - главный момент относительно центра тяжести О векторов, изображающих количества относительного движения и — главный момент внешних сил. Теорема выражает, что относительная скорость по отношению к осям конца а первого момента равна и параллельна второму моменту

Приложения. 1°. Теорема площадей. Если сумма моментов внешних сил относительно некоторой оси постоянного направления, проведенной через центр тяжести, например оси равна нулю, то

В этом случае теорема площадей применима к проекции относительного движения на плоскость причем центром площадей является точка

2°. Главный момент внешних сил относительно точки равен нулю. Если нет внешних сил, или если суммы моментов этих сил относительно осей равны постоянно нулю, то будет существовать интеграл (3) и два других аналогичных интеграла

В этом случае вектор равен нулю, относительная скорость точки о тоже равна нулю и вектор постоянен по величине и направлению. Его проекции на три оси суть постоянные А, В, С. Теорема площадей применима теперь к проекции относительного движения на любую плоскость Р постоянного направления, проходящую через центр тяжести, так как такую плоскость можно всегда принять за плоскость Постоянная площадей на этой плоскости Р есть проекция вектора на прямую перпендикулярную к этой плоскости. Следовательно, эта постоянная имеет наибольшее значение на плоскости П, перпендикулярной к вектору Эта плоскость называется плоскостью максимума площадей. На плоскости, проходящей через вектор постоянная площадей равна нулю.

3°. Приложение к солнечной системе. Неизменяемая плоскость Лапласа. Если пренебречь действием звезд, то система, образованная Солнцем, планетами и их спутниками, не подвергается действию никаких внешних сил. Следовательно, если взять оси с постоянными направлениями, проведенными из центра тяжести системы, который расположен весьма близко к Солнцу, то главный момент относительно точки количеств движений, вычисленных по отношению к этим осям, является постоянным по величине и направлению. Можно вычислить для какого-нибудь момента времени проекции А, В, С этого вектора на оси, подсчитав суммы моментов количеств движения относительно этих осей всех тел системы.

Плоскость П, перпендикулярная к определенному таким образом вектору сохраняет постоянное направление. Это — плоскость максимума площадей. Мы имеем, таким образом, указанную Лапласом

вовможность получения для солнечной системы неизменяемой плоскости. Лаплас, определив эту неизменяемую плоскость, вычислил величины А, В, С в предположении, что планеты заменены точками, находящимися в их центрах тяжести. Пуансо дополнил вычисления Лапласа, добавив члены, вызванные вращениями планет вокруг своих собственных осей. Впрочем, эти члены имеют малое влияние на окончательный результат .

Эти выводы сохраняются и в том случае, если не пренебрегать действием звезд. В самом деле, расстояния звезд от различных точек, образующих солнечную систему, настолько велики по сравнению с размерами системы, что силы притяжения звездами различных точек системы почти параллельны между собой и пропорциональны массам этих точек. Вследствие этого указанные силы притяжения образуют систему векторов, эквивалентную одному вектору, приложенному в центре тяжести О системы, и их главный момент относительно О равен нулю. Следовательно, главный момент относительно О количеств относительных движений остается постоянным по величине и направлению.

Рис. 195.

4°. Движение тяжелого стержня в пустоте. Пусть тяжелый стержень (рис. 195), рассматриваемый как материальная прямая, брошен в пустоте. Центр тяжести описывает параболу. Если через эту точку провести оси постоянного направления, то сумма моментов внешних сил относительно каждой из них равна нулю, так как внешними силами являются веса, которые имеют равнодействующую, приложенную в Следовательно, для относительного движения по отношению к осям можно написать три интеграла (3) и (4). Пусть — точка стержня, расположенная на расстоянии, равном единице, от точки О в каком-нибудь определенном направлении, с — ее координаты относительно осей — точка, находящаяся на расстоянии от О, причем положителен или отрицателен в зависимости от того, имеет ли тот же знак, что или противоположный. Координатами точки являются

Следовательно, из интеграла (3) получаем:

где сумма распространенная на все точки стержня, есть момент инерции относительно точки

Точно так же два интеграла (4) приводятся к виду

Умножая на и складывая, получим уравнение

показывающее, что точка остается в неподвижной относительно осей плоскости П, перпендикулярной к вектору имеющему проекции А, В, С. Это — плоскость максимума площадей. Точка и все остальные точки стержня описывают окружности с центром в Так как закон площадей применим также и к плоскости П, то стержень вращается в этой плоскости вокруг с постоянной угловой скоростью.

5°. Тяжелая изменяемая система. Если произвольную тяжелую систему бросить в пустоте, то ее центр тяжести будет описывать параболу. Еслн через этот центр провести оси постоянного направления, то суммы моментов внешних сил относительно этих осей будут равны нулю. Поэтому сумма моментов количеств относительного движения будет оставаться постоянной относительно любой оси, проведенной через и закон площадей будет применим относительно точки для проекции относительного движения на любую плоскость с постоянным направлением, проведенную через Вектор будет постоянным по величине и по направлению.

Если, например, человек делает сальто, то он вначале сообщает себе некоторую угловую скорость относительно горизонтальной оси проведенной через его центр тяжести. Если бы тело было твердым, то эта угловая скорость сохранялась бы и дальше и была бы недостаточна для сообщения телу полного оборота на 360° до того, как оно опустится на пол. Но после прыжка человек сжимает свое тело, его момент инерции относительно оси уменьшается, и так как сумма моментов количеств движения должна оставаться постоянной, то угловая скорость увеличивается и становится достаточной для того, чтобы стал возможным полный оборот до падения.

В этом примере человек обладает начальной угловой скоростью, которую он увеличивает при помощи внутренних сил. Но он мог бы, прыгнув без начальной угловой скорости, тоже заставить себя повернуться на некоторый угол в пространстве. В этом можно убедиться из примеров, рассмотренных в пункте 333. Так, человек, которому сообщили в пустоте поступательное движение, может повернуться при помощи действий, аналогичных указанным в конце пункта 333 действиям наблюдателя, стоящего на идеально гладкой горизонтальной плоскости. Именно эти рассуждения объясняют, как кошка поворачивается при падении без всякой внешней помощи.