424. Относительное равновесие на поверхности Земли.

Мы рассматриваем Землю как твердое тело, вращающееся с постоянной угловой скоростью со вокруг линии полюсов и пренебрегаем тем влиянием, которое может иметь на равновесие или движение отдельных точек, находящихся на Земле, движение самой Земли вокруг Солнца. Если принять за единицу времени секунду звездного времени, то угловая скорость имеет значение и выражается, следовательно, весьма малым числом.

Пусть Р — северный полюс и плоскость экватора (рис. 255). Для определенности будем искать положение относительного равновесия отвесной нити подвешенной в некоторой точке О, неизменно связанной с Землей. Положение равновесия которое займет нить, является, по определению, вертикалью, проходящей через точку М. Угол X, который образует эта нить с плоскостью экватора, есть широта точки М. Мы обозначим через расстояние от точки до оси Земли. Все эти элементы определяются из наблюдений.

Силами, действующими на точку М, являются притяжение А Земли и натяжение Т нити. Эти две силы не уравновешиваются, так как точка М не совершает абсолютного прямолинейного и равномерного движения. Сила Т по абсолютной величине равна, а по направлению противоположна той силе, которую мы называем силой тяжести (весом) mg материальной точки. Угол а, который образует направление отвесной нити с силой притяжения А, есть то, что называют девиацией (отклонением) вертикали вследствие вращения Земли. Если бы Земля не вращалась, то силы были бы уравновешены. Тогда они были бы равны и противоположно направлены, и угол а был бы равен нулю.

Для нахождения условий относительного равновесия мы можем рассматривать Землю как неподвижную при условии добавления к силам А и Т, действующим на точку, центробежной силы Ф. Так как движение Земли является равномерным вращением вокруг то сила Ф равна и направлена по продолжению радиуса параллели точки М. Если мы допустим, что вертикаль находится в плоскости то угол между Ф и будет равен широте X точки М. Три силы и Ф, находящиеся в равновесии, лежат в одной плоскости — в плоскости Т и Ф, известной в каждой точке М Земли. Каждая из этих сил равна и противоположна равнодействующей двух других. Следовательно, сила тяжести, равная и противоположная силе Т, является равнодействующей притяжения и центробежной силы.

Рис. 255.

В плоскости трех сил А, Т и Ф сумма их проекций на два каких-нибудь направления равна нулю. Будем проектировать их на вертикаль и на горизонталь. Тогда, обозначая через А абсолютную величину силы А, получим два уравнения:

определяющих и позволяющих поэтому вычислить А и а в каждой точке Земли. Эти величины изменяются вместе с широтой.

На экваторе X, а поэтому и угол а равны нулю. Обозначая через соответствующие значения величин получим на основании равенства (1)

Вычислив из этого равенства мы найдем, что дробь, стоящая в скобках, равна приблизительно или Имеем, следовательно,

Отсюда видно, что если бы Земля вращалась в 17 раз быстрее, то тела, находящиеся на экваторе, стали бы невесомыми.

На полюсе угол а на основании равенства (2) по-прежнему равен нулю, на основании равенства (1) равно А. Следовательно, все происходит так, как если бы Земля не вращалась. Это — очевидно, так как место наблюдения находится на оси вращения.

Во всем предыдущем мы не делали никаких предположений о форме Земли. Мы предположили только, что вертикаль находится в плоскости Посмотрим, во что обратятся полученные формулы, если принять следующие предположения, дающие лишь первое приближение. Предположим, что Земля имеет форму шара, и допустим, что сила притяжения А направлена к центру С и имеет одинаковую величину во всех точках Земли. Тогда, обозначая через радиус Земли, имеем в треугольнике , и из формулы (2) получаем:

Разложим обе части этого равенства в ряды по возрастающим степеням а, и так как угол а весьма мал, то пренебрежем членами, содержащими а в квадрате и произведение Тогда получим следующую приближенную формулу:

Эта формула показывает, что отклонение вертикали будет максимальным на широте 45°.

Возвращаясь к равенству (1) и принимая при этом во внимание, что мы получим при тех же приближениях