448. Интеграл Пенлеве, аналогичный интегралу энергии в некоторых случаях связей, зависящих от времени.

В некоторых случаях можно образовать интеграл, аналогичный интегралу энергии, для связей, зависящих от времени. Для таких связей выражения через содержат и кинетическая энергия Т в этом случае не будет однородной относительно Мы можем написать ее в виде где обозначает совокупность членов второй степени относительно — совокупность членов первой степени относительно этих же величин и — совокупность членов, не зависящих от этих величин. С помощью вычислений, аналогичных предыдущим по-прежнему имеем:

Но, с одной стороны, по теореме об однородных функциях

а с другой стороны,

так как Т зависит от и непосредственно и через

После сокращения имеем:

Если окажется, что величина равна то окончательно получим

Это, например, будет иметь место, если зависит только от будет полным дифференциалом некоторой функции, не зависящей от Интеграл в этом случае запишется в виде

где положено .