448. Интеграл Пенлеве, аналогичный интегралу энергии в некоторых случаях связей, зависящих от времени.
В некоторых случаях можно образовать интеграл, аналогичный интегралу энергии, для связей, зависящих от времени. Для таких связей выражения 
через 
содержат 
и кинетическая энергия Т в этом случае не будет однородной относительно 
Мы можем написать ее в виде 
где 
обозначает совокупность членов второй степени относительно 
— совокупность членов первой степени относительно этих же величин и 
— совокупность членов, не зависящих от этих величин. С помощью вычислений, аналогичных предыдущим 
по-прежнему имеем:
Но, с одной стороны, по теореме об однородных функциях
а с другой стороны,
так как Т зависит от 
и непосредственно и через 
После сокращения имеем:
Если окажется, что величина 
равна 
то окончательно получим
зависит только от 
будет полным дифференциалом 
некоторой функции, не зависящей от 
Интеграл в этом случае запишется в виде
.
