I. Определения и примеры

314. Определение моментов инерции.

Так как в приложениях встречаются только моменты инерции относительно осей, то полезно ввести следующие определения. Если задана произвольная система материальных точек, то:

1°. Моментом инерции этой системы относительно плоскости называется сумма произведений массы каждой отдельной точки на квадрат ее расстояния 8 от плоскости.

2°. Моментом инерции системы относительно оси называется сумма произведений массы каждой отдельной точки на квадрат ее расстояния до оси. Этот момент обычно обозначают через , где М — вся масса системы; к называют тогда радиусом инерции системы относительно оси.

3°. Моментом инерции относительно точки называется сумма произведений массы каждой точки на квадрат ее расстояния до точки.

Проведем через некоторую точку О три прямоугольные оси Тогда моменты инерции относительно трех координатных плоскостей равны моменты инерции относительно осей равны и момент инерции относительно точки О равен

Из написанных выражений получаются следующие теоремы:

а) Момент инерции относительно оси равен сумме моментов инерции относительно двух взаимно-перпендикулярных плоскостей, проходящих через эту ось.

б) Момент инерции относительно точки равен сумме моментов инерции относительно трех взаимно-перпендикулярных плоскостей, проходящих через эту точку, или сумме моментов инерции относительно плоскости и перпендикулярной к ней оси, проходящих через эту точку.

4°. Произведения инерции, или центробежные моменты инерции. Так называются суммы вида 2 туг, гпху, которые непосредственно приводятся к моментам инерции относительно плоскостей. В самом деле, проведем плоскости Р и Р, делящие пополам двугранные углы, образованные плоскостями Эти плоскости имеют уравнения Обозначим далее через расстояния от точки массы с координатами х, у, z до этих плоскостей. Тогда имеем:

В полученном соотношении оба члена правой части являются моментами инерции относительно плоскостей.

315. Сплошные системы.

Для вычисления моментов инерции сплошного тела, например, какой-нибудь металлической массы, его предполагают разбитым на элементарные объемы каждый из которых имеет координаты х, у, z и массу где — плотность элементарного объема Тогда суммы вида или превратятся в тройные интегралы или распространенные на рассматриваемый объем.

316. Примеры.

1°. Моменты инерции однородного шара. Пусть плотность. Найдем сначала момент инерции шара относительно его центра. Этот момент является функцией радиуса Когда последний получает бесконечно малое приращение тогда приращение является моментом инерции шарового слоя массы относительно точки, находящейся на постоянном расстоянии (рис. 179). Следовательно,

откуда, интегрируя в пределах от 0 до находим:

Момент инерции относительно диаметральной плоскости равен

так как момент инерции относительно центра равен сумме моментов инерции относительно трех взаимно-перпендикулярных диаметральных плоскостей, а моменты инерции относительно всех диаметральных плоскостей одинаковы. Отсюда следует, что момент инерции относительно диаметра, равный сумме моментов инерции относительно двух взаимно-перпендикулярных диаметральных плоскостей, имеет значение

где обозначает всю массу шара. Следовательно, радиус инерции шара относительно диаметра равен

Рис. 179.

2°. Моменты инерции однородного эллипсоида. Пусть

— уравнение эллипсоида. Его момент инерции относительно плоскости будет

где — плотность, а тройной интеграл распространен на объем эллипсоида. Если сделать замену переменных

то получим:

где новый тройной интеграл распространен уже на объем шара, ограниченного поверхностью

Он представляет собою момент инерции шара радиуса 1 относительно диаметральной плоскости и, следовательно, равен Таким образом,

имеем:

Эта величина может быть окончательно написана в виде так как масса М эллипсоида равна

Рис. 180.

Точно так же моменты инерции эллипсоида относительно плоскостей равны соответственно Вследствие этого моменты инерции относительно осей суть

и момент инерции относительно центра равен

3°. Момент инерции однородного тела вращения, ограниченного плоскостями двух параллелей, относительно его оси. Рассмотрим сначала случай кругового цилиндра высоты и радиуса Так же как и в случае шара, если радиусу дать приращение то момент инерции цилиндра относительно его оси получит приращение

так как все точки цилиндрического слоя, на который увеличится тело, находятся на расстоянии от оси и приращение массы равно Интегрируя последнее равенство, получим:

что можно написать в виде

и следовательно, радиус инерции цилиндра равен

Пусть теперь в общем случае есть уравнение меридиана поверхности вращения вокруг оси (рис. 180). Разобьет тело плоскостями,

перпендикулярными к оси, на элементарные цилиндры. Момент инерции каждого такого цилиндра радиуса и высоты равен, по предыдущему,

и если - значения координаты для крайних параллельных плоскостей, то для момента инерции всего тела получим выражение

где связано с соотношением

Таким образом, в рассматриваемом случае момент инерции вычисляется с помощью простого интеграла.