499. Приложение. Задача Бруна (Brun).

Частицы твердого тела притягиваются неподвижной плоскостью пропорционально расстоянию; найти движение, предполагая, что тело имеет неподвижную точку на притягивающей плоскости.

Пусть О — неподвижная точка, — главные оси инерции тела в этой точке, — перпендикуляр, восставленный в точке О к неподвижной плоскости, и — направляющие косинусы этого перпендикуляра. Масса с координатами находится под действием силы, равной и имеющей направляющие косинусы Вследствие этого главный момент приложенных сил относительно оси будет

и аналогичные будут для моментов относительно осей Следовательно, уравнения Эйлера напишутся так:

Кроме того, имеем

Мы получаем, таким образом, шесть дифференциальных уравнений, определяющих в функции времени. Допустим, что мы проинтегрировали эти уравнения. Обозначим через углы Эйлера и допустим, что неподвижная ось перпендикулярна к притягивающей плоскости, а две другие неподвижные оси лежат в этой плоскости. Тогда, как известно,

так что углы будут известными функциями времени. Что касается угла то он получится при помощи квадратуры из уравнения

Следовательно, достаточно проинтегрировать уравнения (25) и (26). Время можно оставить пока в стороне, так как оно не входит явно в уравнения (25) и (26). Оно определится при помощи квадратуры. Мы будем поэтому заниматься только пятью уравнениями:

которые, как легко видеть, имеют множитель Следовательно, достаточно знать четыре интеграла, чтобы привести задачу к квадратурам. Но мы уже знаем три интеграла: во-первых, интеграл энергии

во-вторых, интеграл площадей

и, в-третьих, интеграл

где — две произвольные постоянные. Постоянная уравнения (31) должна быть принята равной единице.

Следовательно, если имеется четвертый интеграл, то задача закончится квадратурой. Но легко убедиться путем проверки, что

является четвертым интегралом.

Таким образом, задача приводится к квадратурам. Исходя из предыдущих формул, легко доказать, что это будут квадратуры от алгебраических полных дифференциалов. К этому результату пришел Кобб (Kobb) в статье, помещенной в Bulletin des Sciences mathematiques, т. XXIII. Было бы интересно произвести более глубокий анализ этих интегралов, но мы это здесь не делаем.

Мы обязаны Стеклову интересным замечанием (Conrptes rendus, т. CXXXV, 1902), что уравнения задачи Бруна могут быть приведены к уравнениям движения твердого тела в бесконечной жидкости, установленным Клебшем (Clebsch). Следовательно, любой результат, найденный в одной из этих двух задач, может быть распространен на другую.