396. Частный случай.

Рассмотрим волчок, движущийся вокруг закрепленной точки О своей оси. Удерживая конец оси волчка рукой, расположим ось так, чтобы она образовала с вертикалью угол отличный от 0 и от После этого сообщим волчку при помощи, например, навернутой на него нити очень большую угловую скорость вокруг оси Пока конец оси волчка удерживается рукой, волчок представляет собой твердое тело, вращающееся вокруг своей главной оси угловая скорость сохраняется, и давления в точке О и на пальцы будут такими же, как если бы волчок не вращался (п. 360, частный случай). Что произойдет, если отпустить конец Волчок будет тогда двигаться вокруг точки О, и движение будет происходить согласно предыдущим законам. В рассматриваемом случае волчок вращается сначала вокруг оси следовательно, начальные значения величин и равны нулю.

Мы положили и уравнения п. 395

показывают тогда, что в начальный момент

где равно Заменим постоянные этими значениями. Имеем:

Для того чтобы оставалось положительным, а должно колебаться между значением и некоторым значением содержащимся между и обращающим в нуль величину, заключенную в квадратных скобках, для которой, следовательно,

Отсюда находим

Таким образом, положительно и второй предел меньше первого. Следовательно, является самым большим корнем, который мы в общем случае обозначили через Поэтому предельный круг соответствующий корню их, расположен под кругом

соответсгвуюшим корню Кривая, описываемая на сфере точкой будет касаться первого круга. Однако на основании того, что мы сейчас видели, она будет нормальна ко второму кругу, так как обращает в нуль величину (рис. 232, II).

Выражение в рассматриваемом частном случае принимает вид

Следовательно, сохраняет постоянный знак, совпадающий со знаком Отсюда следует, что вращение плоскости вокруг оси происходит все время в одном и том же направлении, которое совпадает с направлением начального вращения вокруг оси или 00. так как выбрано в качестве положительного направления оси вращения.

Предположим, кроме того, что начальное вращение весьма велико. Тогда равенство

показывает, что будет мало отличаться от Конус, который представляет собой геометрическое место осей будет заключен между двумя очень близкими круговыми конусами. При этом вращательное движение плоскости будет происходить весьма медленно. Действительно, мы имеем:

и так как остается меньше, чем , т. е. меньше, чем то получаем по абсолютному значению

Здесь множитель остается очень близким к единице, так как и очень близко к . Поэтому остается очень малой величиной порядка Итак, сети тело заставить быстро вращаться вокруг оси и затем предоставить его самому себе, то оно будет казаться продолжающим вращение вокруг этой оси, которая в свою очередь покажется вовлеченной в медленное вращательное движение вокруг оси и эти вращения будут совершаться либо оба в положительном направлении, либо оба в отрицательном направлении вокруг соответствующих осей

Эти свойства хорошо видны на гироскопических весах. Прибор состоит из двух тяжелых тел вращения М и (рис. 233), насаженных на один и тот же стержень который движется вокруг точки О при помощи, например, подвеса Кардана. Перемещая массу вдоль стержня, можно привести центр тяжести системы на ту или другую из полупрямых или . Если мы сообщим системе быстрое вращение вокруг в положительном направлений и предоставим ее самой себе, то мы увидим, что ось начнет вращаться вокруг вверх направленной вертикали в положительном направлении, если центр тяжести находится на и в противоположном направлении, если центр тяжести находится на . В частном случае, когда центр тяжести находится в точке подвеса, вращение будет продолжаться только вокруг оси которая останется неподвижной. Прямая будет в этом случае постоянной осью вращения.

Рис. 233.

В этой теории мы впервые встречаемся с неожиданным результатом, который обычно имеет место для тел вращения, находящихся в быстром вращательном движении вокруг своих осей. Если ось волчка держать рукой неподвижно, пока волчку сообщается очень быстрое вращение вокруг этой оси, и затем предоставить тело самому себе, то, казалось бы, ось волчка под действием веса должна начать перемещаться в вертикальной плоскости . В действительности же эта ось, после того как она несколько наклонится вниз, выйдет, из этой плоскости в направлении, почти перпендикулярном к ней, и заметно опишет круговой конус вокруг оси

При рассматриваемых начальных условиях, опираясь на то, что очень велико, легко получить приближенные значения для

Так как есть величина порядка то того же порядка будет и величина вследствие чего можно положить , где — величина конечная. Тогда, разлагая в ряд и беря только первые два члена разложения, получим

Внесем это выражение в равенство (56), разложим его правую часть таким же

образом по возрастающим степеням и удержим только первый член. Получим:

Решая это уравнение, найдем:

Точно так же, заменяя в производных и величину и через и ограничиваясь лишь первыми членами разложении по возрастающим степеням получим:

откуда, интегрируя и полагая, что обращаются в нуль при найдем:

Значения определяют движение оси Если в них пренебречь периодическими членами, то они определят прямою линию, образующую с постоянный угол и вращающуюся вокруг этой оси с постоянной угловой скоростью

Спящий волчок. В рассмотренном сейчас частном случае мы предположили, что но что Посмотрим, что происходит в случае, когда равно 0 или .

Возьмем, например, случай, когда Тогда в начальный момент ось волчка вертикальна, центр тяжести находится над точкой опоры и волчок вращается вокруг своей оси с угловой скоростью При этих условиях в предыдущей формуле (56) надо положить Таким образом получится:

В этом случае многочлен стоящий в правой части этого равенства, допускает двойной корень, равный 1, и простой корень, который больше чем —1.

При этих условиях ось волчка остается вертикальной. Действительно, и, являясь косинусом и будучи в начале равным 1, может либо оставаться постоянным, либо уменьшаться. Следовательно, при извлечении квадратного кория из обеих частей равенства (57) нужно будет взять отрицательное значение для Тогда время, нужное для того, чтобы и достигло какого-нибудь

значения, отличного от 1, определяется интегралом

который равен бесконечности, так как подынтегральное выражение содержит в знаменателе множитель 1 — и. Следовательно, и не может приобрести никакого значения, отличного от 1, и ось волчка остается вертикальной. Мы имеем так называемый спящий волчок. Остается исследовать, в каком случае полученное таким образом движение устойчиво.

Допустим, что волчок приводится во вращение вокруг своей оси симметрии каждый раз с одной и той же угловой скоростью но что в начальный момент угол вместо того, чтобы быть в точности равным нулю, будет лишь очень мал, т. е. что «0 очень близко к 1. Исследуемое движение будет устойчиво, если в последующем движении и также близко к 1 и неустойчиво в противном случае. Но на основании предыдущего и заключено между и Другим корнем многочлена находящемся между —1 и +1. Следовательно, для устойчивости нужно, чтобы так же как и было очень близко к 1. Другими словами, необходимо, чтобы угловая скорость вращения была такой, чтобы в многочлене относительно и

корень заключенный между был очень близок к 1 одновременно с Это условие будет выполняться, если достаточно велико. По этому поводу можно сослаться на заметку Клейна, французский перевод которой имеется в Nouvelles Annales de Math6matiques за 1897 г.