318. Изменение момента инерции относительно осей, проходящих через одну и ту же точку.

Эллипсоид инерции (Пуансо). Исследуем теперь изменение моментов инерции относительно различных осей, выходящих из точки О (рис. 181). Примем эту точку за начало координат и пусть — направляющие косинусы некоторой прямой Квадрат расстояния от точки с координатами до этой прямой имеет значение т. е.

что можно представить в виде

Или в развернутом виде

откуда для момента инерции получается значение

Обозначая входящие в эту формулу постоянные суммы через А, В, С, D, Е, F, получим:

Постоянные А, В, С являются моментами инерции относительно осей координат, а суть произведения инерции или, что то же, центробежные моменты инерции.

Для геометрической интерпретации результата, к которому мы пришли, отложим на каждой прямой по обе стороны от точки О отрезки такой длины что и найдем геометрическое место точек Прежде всего имеем:

и, подставляя эти значения в равенство (1), получим:

т. е. уравнение поверхности второго порядка. Эта поверхность, имеющая в начале координат центр, будет эллипсоидом. Действительно, радиус-вектор будет всегда вещественным и конечным, так как он имеет значение а момент инерции всегда положителен. Исключение представляется лишь в том случае, когда все материальные точки системы лежат на одной прямой, проходящей через О. В этом случае момент инерции относительно этой прямой равен нулю и эллипсоид обращается в цилиндр вращения вокруг этой прямой.

Эллипсоид, уравнение которого мы только что получили, носит название эллипсоида инерции для точки О; его плоскости и оси симметрии называются главными плоскостями и главными осями инерции относительно рассматриваемой точки. Эллипсоид инерции для центра тяжести называется центральным эллипсоидом инерции. В общем случае в каждой точке имеются только три главные оси инерции; если эллипсоид инерции для данной точки является эллипсоидом вращения, то имеется бесчисленное множество главных осей инерции, и все они лежат в его экваториальной плоскости; наконец, если эллипсоид обращается в сферу, то все оси, проходящие через точку, являются для нее главными.

Если эллипсоид инерции для точки О построен, то момент инерции относительно какой-нибудь оси равен где Р обозначает точку пересечения оси с эллипсоидом. Из всех осей, проведенных через точку О, наименьший момент инерции получится для той, которая совпадает с большой осью эллипсоида.