483. Пример.

Возьмем совершенно элементарный пример, рассмотрев движение свободной точки массы 1, притягиваемой началом пропорционально расстоянию. Тогда, обозначая через прямоугольные координаты точки, имеем

Обозначив координаты через получим

Уравнения движения в канонической форме имеют вид

I. Сначала получим два первых интеграла, применяя теорему площадей к проекциям движения на две координатные плоскости. Эти интегралы будут

Применим теорему Пуассона. Если обозначить через левые части равенств (11), то соотношение

или, более подробно,

будет новым интегралом. Проделывая вычисления, получаем

Это будет действительно новым интегралом, выражающим теорему площадей для проекции движения на третью координатную плоскость. Продолжая применять теорему Пуассона к этому новому интегралу в сочетании с одним из двух предыдущих, получим другой из этих двух предыдущих интегралов. Эта теорема не дает больше новых интегралов.

II. Легко проверить, что уравнения движения имеют первый интеграл:

Скомбинируем его с одним из интегралов площадей, например с уравнением (13).

Приравнивая постоянной величине скобку (12), составленную из двух левых частей интегралов (13) и (14), получим новый интеграл

Этот интеграл также скомбинируем с интегралом площадей (13). Получим

Принимая во внимание равенство (14), окончательно получим

Найденный интеграл не будет новым; он является следствием предыдущих, как это видно из тождества

Следовательно, из уравнений (13), (14) и (15) вытекает интеграл

Так как пять интегралов (11), (13), (14), (15) независимы, то, приравнивая постоянным величинам скобки Пуассона, составленные из этих интегралов, взятых попарно, нельзя получить шестой независимый интеграл. Действительно, все полученные таким образом новые интегралы не зависят от а больше пяти независимых интегралов, не содержащих быть не может, ибо если бы существовал шестой такой интеграл, то из всех интегралов получились бы для шести переменных постоянные значения.

Посмотрим теперь, что можно извлечь из интеграла, содержащего

III. Обращаясь к уравнениям движения, легко установить, что они имеют первый интеграл

содержащий время. Мы применим сейчас теорему Пуассона к этому интегралу, соединяя его последовательно с двумя интегралами площадей (11). Таким путем мы получим два новых интеграла:

Образованные таким образом шесть интегралов (11), (13), (16) и (17) не будут независимыми. Действительно, можно убедиться, что имеется тождество

Следовательно, шесть интегралов приводятся к пяти.

Но в данном случае мы найдем шестой интеграл, применяя замечание п. 482. По условию Н не содержит явно поэтому, если есть интеграл, будет также интегралом. Следовательно, из интеграла (16) непосредственно находим интеграл

который совместно с пятью предыдущими решает задачу.

Из интегралов (17) можно образовать следующие интегралы:

Шесть интегралов (16), (17), (18) и (19) определяют окончательно шесть неизвестных в функции времени и шести постоянных

и аналогичные формулы для Это как раз те самые интегралы, которые получаются непосредственным интегрированием уравнений движения.