321. Задача Бине.

Найта огибающую плоскостей, относительно которых момент инерции имеет заданное значение

Отнесем систему к главным осям инерции центрального эллипсоида, т. е. эллипсоида инерции, построенного в центре тяжести, и пусть — моменты инерции относительно координатных плоскостей. Момент инерции относительно плоскости

имеет значение

Развертывая это выражение и замечая, что согласно выбору осей координат шесть сумм равны нулю, получим соотношение

из которого вытекает

Это — тангенциальное уравнение поверхности второго порядка

При изменении параметра поверхности, представляемые этим уравнением, остаются софокусными. Так как они должны оставаться вещественными, то необходимо, чтобы № было меньше наименьшей из величин например Отсюда следует, что плоскостью, относительно которой момент Инерции имеет наименьшее значение, является плоскость

Через точку пространства проходят три из указанных поверхностей. Соответствующие им значения параметра являются корнями уравнения третьей степени

Эти три софокусные поверхности, проходящие через точку , пересекаются под прямыми углами. Имеет место следующая теорема:

Три главные плоскости относительно точки О являются касательными плоскостями к трем софокусным поверхностям (1), проходящим через эту точку, и моменты инерции относительно этих трех главных плоскостей суть где означают корни уравнения (2).

Доказательство вытекает из сопоставления следующих двух положений.

1°. Огибающая плоскостей, проходящих через О, относительно которых момент инерции. имеет заданное значение есть конус с вершиной в точке О, описанный около поверхности (1). Эта огибающая является действительно конусом, если поверхность (1) не проходит через О, т. е. если не совпадает ни с одной из величин Но если имеет одно из указанных значений, то поверхность (1) будет проходить через точку О и описанный конус с вершиной в О обратится в двойную плоскость, совпадающую с касательной плоскостью к этой поверхности в точке О.

2°. Найдем непосредственно огибающую тех же плоскостей, приняв за начало, а главные оси инерции относительно точки О за оси координат Пусть — координаты какой-нибудь точки системы и

— моменты инерции относительно трех главных плоскостей в точке О. Момент инерции системы относительно плоскости проходящей через точку О, равен

Если должно оставаться постоянным, то имеем:

Тогда рассматриваемые плоскости огибают конус, уравнение которого имеет вид

Это будет действительно уравнением конуса, если отлично от каждого из значений Если же, например, то конус обращается в двойную плоскость т. е. в одну из главных плоскостей относительно точки О.

Точно так же при получаются две другие главные плоскости относительно

Но так как из предыдущего рассуждения мы установили, что тот же самый конус обращается в двойные плоскости только при , равном или или то необходимо, чтобы совпадали с Так как мы, Кроме того, нашли, что эти двойные плоскости совпадают с касательными

плоскостями к трем софокусным поверхностям, проходящим через О, то необходимо, чтобы эти касательные плоскости совпадали с главными плоскостями инерции относительно О, т. е. с

Таким образом, теорема доказана.