427. Маятник Фуко.

Перейдем к изучению движения сферического маятника длины принимая во внимание вращательное движение Земли. Сохраним те же оси, что и в предыдущей задаче, взяв начало в точке подвеса маятника. По сравнению с предыдущей задачей к силам, действующим на движущуюся точку, надо добавить только натяжение нити, которое мы обозначим через Так как проекции этой силы равны то уравнения относительного движения будут:

Интегрирование этих уравнений сложное. Можно пытаться это сделать при помощи последовательных приближений, оперируя так же, как и в предыдущей задаче. Опуская общий случай, займемся тем частным случаем, когда колебания имеют очень малую амплитуду. Приближение будет

заключаться в том, что мы будем рассматривать, с одной стороны, и их производные, а с другой, как малые величины первого порядка и будем пренебрегать их квадратами и произведениями по сравнению с конечными величинами. При таком порядке приближения постоянно будет самом деле, так как уравнение сферы, по которой движется точка, имеет вид

то, пренебрегая величинами и получим

Тогда из третьего уравнения движения имеем Подставляя это значение и значение в два первых уравнения, приведем их к виду

Эти два уравнения определяют движение маятника, которое приближенно происходит в плоскости, касательной к сфере в ее самой низкой точке, как это вытекает из равенства

Уравнения (2) являются линейными с постоянными коэффициентами и их можно точно проинтегрировать при помощи квадратур. Мы применим, однако, другой метод. Из равенств (2) составим равенство, соответствующее теореме кинетической энергии

и проинтегрируем его, обозначив через полярные координаты проекции маятника на плоскость Имеем

Составим теперь равенство, аналогичное теореме моментов, умножив уравнения (2) соответственно на или сложив их. Получим интегрируемое уравнение

которое, если положить и перейти к полярным координатам, приводится к виду

Частный случай. Исследуем сначала частный случай: маятник в начальный момент находится в равновесии и ему сообщают небольшой толчок, после чего он начинает колебаться. Тогда в начальный момент и уравнение (4) показывает, что постоянная С должна быть тоже равна нулю. Это уравнение принимает вид

Следовательно, будет казаться, что маятник колеблется в плоскости, которая равномерно поворачивается вокруг вертикали с угловой скоростью «в в положительном направлении. Эта плоскость сделает полный оборот за время или (звездное время). В Париже время полного оборота плоскости равно .

Общий случай. Вернемся теперь к общему случаю малых колебаний. Уравнение (4) напишется так:

Рис. 257.

Если обозначить через угол то получится уравнение

аналогичное уравнению площадей. Величины являются относительными полярными координатами горизонтальной проекции точки М по отношению к системе осей вращающихся вокруг вертикали в положительном направлении с постоянной угловой скоростью ибо если угол принять равным то угол будет равен или (рис. 257).

В новых переменных уравнение (3) принимает вид

Заменяя в последнем слагаемом левой части величину значением С и пренебрегая членом четвертого порядка по сравнению с членом второго порядка, получим

где — новая постоянная.

Уравнения (5) и (6) тождественно совпадают с уравнениями площадей и кинетической энергии в задаче о движении точки, притягиваемой неподвижным центром О пропорционально расстоянию. Следовательно, движение точки М относительно осей тождественно с абсолютным движением точки М, притягиваемой неподвижной точкой О пропорционально расстоянию. На основании установленного в точка М описывает относительно осей эллипс с центром в точке О, причем период обращения точки по эллипсу равен

Так как оси вращаются в горизонтальной плоскости, то мы видим, что точка М описывает маленький горизонтальный эллипс с центром в точке О, который вращается в отрицательном направлении вокруг своего центра с угловой скоростью совершая полный оборот за время равное для Парижа

Опыт Фуко (Foucault). В знаменитом опыте, произведенном в Пантеоне, маятник был отклонен от своего начального положения и привязан к стене при помощи нити. Таким образом, маятник был неподвижен по отношению

к Земле. После этого нить пережгли и маятник пришел в движение. При этих условиях начальная скорость маятника относительно осей связанных с Землей, равна нулю и начальные значения и — тоже равны нулю. Начальное значение которое мы обозначим через а, будет полуосью эллипса, так как это начальное значение будет максимумом или минимумом, поскольку начальное значение равно нулю. Соотношение (4), если положить в нем приводится к виду Начальное значение отрицательно и равно — Следовательно, в опыте

Фуко маятник описывает эллипс в отрицательном направлении вращений вокруг оси в то время как сам эллипс вращается вокруг той же оси в положительном направлении. Таким образом, явление будет совершенно отличным от того, которое имело бы место для сферического маятника, если пренебречь влиянием вращения Земли. В этом последнем случае, как показывают более точные подсчеты, конец маятника движется так, как будто он описывает маленький эллипс, который вращается в ту же сторону, в которую его описывает маятник.

Теорема Щевиллье (Chevilliet). В предыдущих уравнениях С обозначает постоянную площадей для движения точки, описывающей относительно осей маленький эллипс. Пусть а и — полуоси этого эллипса, а период обращения точки по эллипсу. С имеет значение . С другой стороны, мы нашли, что Приравнивая эти два выражения, получим

где Т, как и выше, обозначает период обращения эллипса вокруг своего центра.

Таким образом, оси движущегося эллипса относятся между собой как период полного колебания к периоду обращения эллипса. При опыте в Пантеоне было сек, часа, Следовательно, эллипс был очень сильно вытянутым.

Для более глубокого изучения маятника Фуко мы отсылаем к работай де Спарра (Savants etrangers, 1891; Annales de la Societe Scientifique de Bruxelles, 14e annee, 1890-1891) и к работе Эмиля Коттона (Emile Cotton, Annales de la Faculte des Sciences de Grenoble, т. XXI, n° 1, 1909).