344. Приложение.

Однородная тяжелая цепь, скользящая без трения по неподвижной кривой. Пусть — длина цепи — масса единицы длины и, следовательно, — вся масса.

Примем за ось (рис. 191) вертикаль, направленную вверх. Обозначим через длину дуги неподвижной кривой, по которой скользит цепь,

отсчитываемую от некоторой неподвижной точки до точки кривой с ординатой Так как кривая задана, то всегда можно выразить в функции

Имея это уравнение, обозначим через о дугу от точки О до середины М цепи, которая однако не является ее центром тяжести. Очевидно, что положение цепи известно, если известна дуга а. Цепь на кривой образует, следовательно, систему с полными связями (п. 168). Цепь, предполагаемая нерастяжимой, может быть рассматриваема как совокупность материальных точек, связанных таким образом, что каждая из них находится на постоянных расстояниях от предшествующей и от последующей точек.

Силы, приложенные к системё, суть: 1° веса точек (заданные силы); 2° нормальные реакции кривой (реакции связей); 3° взаимодействия последовательных точек (реакции связей). Если бы мы пожелали принять деление сил на внешние и внутренние, то силы взаимодействия последовательных точек были бы силами внутренними, а веса и реакции силами внешними.

Когда цепь скользит по кривой, работы реакций связей равны нулю. Это легко проверить: реакции нормальны к перемещениям точек, а работа силы взаимодействия между двумя последовательными точками равна нулю, так как расстояние между ними не изменяется. Таким образом, существуют только работы сил тяжести. Чтобы вычислить их, рассмотрим в точке цепи элемент длины расстояние которого от точки М вдоль цепи равно X, причем X считается положительным в направлении так что мы получим все элементы цепи, если будем изменять X от до Координата элемента есть

так как дуга От есть . Если цепь переместить на так, чтобы она перешла из положения в положение то координата элемента увеличится на

и элементарная работа веса этого элемента будет равна

Сумма элементарных работ весов всех элементов есть сумма выражений предыдущего вида, когда X изменяется от до Следовательно,

Это выражение можно записать в виде

где суть значения координаты концов А и В цепи. Отсюда видно, что работа будет такой же, как если бы был перемещен из одного конца цепи в другой только один ее элемент а остальная ее часть оставалась бы неподвижной.

С другой стороны, при движении цепи все ее точки имеют одинаковую скорость и следовательно, ее кинетическая энергия равна

Уравнение кинетической энергии теперь имеет вид

Уравнение показывает, что может быть выражено в функции о при помощи только двух квадратур. Если обе части разделить на и выполнить указанные дифференцирования, то получится уравнение

аналогичное уравнению прямолинейного движения точки под действием силы, зависящей только от положения. В качестве проверки можно перейти к пределу, когда длина цепи стремится к нулю. Тогда правая часть будет иметь пределом и вновь получится уравнение движения тяжелой точки по неподвижной кривой:

Так как уравнение движения цепи зависит только от функции то движение не изменится, если цилиндр, проектирующий заданную кривую на горизонтальную плоскость, развернуть на одну из его касательных плоскостей.

Имеются два случая, когда движение середины цепи не зависит от ее длины:

1°. Заданная кривая является винтовой линией, проведенной на вертикальном цилиндре. В этом случае

где а — постоянная, и уравнение (2) приводится к уравнению вида

не зависящему от I.

2°. Заданная кривая является циклоидой с вертикальной осью или получается навертыванием этой циклоиды на вертикальный цилиндр. Известно (250), что в этом случае

и поэтому уравнение движения середины М цепи имеет вид

В обоих этих случаях середина М перемещается как изолированная тяжелая материальная точка по неподвижной кривой (Рuisеих, Journal de Liouville, т. VIII).

Оба вида функции которые мы только что привели, являются, впрочем, единственными, обладающими таким свойством. В самом деле, если уравнение движения не должно зависеть от I, то должно быть

Освободившись от знаменателя, продифференцируем обе части по I два раза. Получим:

каковы бы ни были . Отсюда следует, что функция не должна зависеть от

Если равно нулю, то

Это — случай винтовой линии.

Если , то получается уравнение

выражающее циклоиду.

Кривая, по которой перемещается цепь, может состоять из нескольких различных частей. Предположим, что она образована горизонталью и направленной вниз вертикалью . Мы видели, что уравнение движения может быть записано так:

Если цепь целиком находится на горизонтальной части, то ее движение будет равномерным, поскольку (рис. 192) и, следовательно,

Рис. 192.

Если один из концов цепи уже перешел через точку О на отрезок то, отсчитывая а от О в направлении получим:

и поэтому

Следовательно, конец В перемещается так, как если бы он отталкивался от О пропорционально расстоянию. Это последнее уравнение справедливо лишь до тех пор, пока А еще лежит на горизонтальной части. Когда конец А достигнет точки О, цепь начнет свободно падать и ее движение будет равноускоренным.

Вычисление натяжения. Рассмотрим часть цепи, оканчивающуюся в точке для которой дуга Ее можно рассматривать как систему, движущуюся под действием сил тяжести ее отдельных элементов, реакций кривой и натяжения Т в точке считаемого положительным в направлении (см. рис. 191).

Если применить теорему кинетической энергии к движению этой части цепи, то получится:

так как работа силы Т равна а работа сил тяжести подсчитывается как и раньше, причем обозначает ординату точки .

Разделим на и выполним дифференцирования. После сокращения на получим:

Заменив его значением и выполнив преобразования, найдем

Если эту формулу применить к случаю винтовой линии, то сразу видно, что Т всюду равно нулю. Поэтому каждая из точек цепи движется так, как если бы она была изолирована. Может случиться, что для Т получится отрицательное значение. В этом случае элемент будет испытывать сжатие, а не растяжение. Для того чтобы движение было осуществимо во всех случаях, необходимо предположить, что цепь образована маленькими сферическими бусинками, нанизанными на гибкую нить и скользящими в трубке того же радиуса. Тогда, если Т в какой-нибудь точке положительно, то нить будет натянута; если Т отрицательно, то соприкасающиеся шарики будут давить друг на друга. Можно убедиться, что в случае циклоиды везде получается сжатие.

Вопрос о движении тяжелой цепи по неподвижной кривой послужил Миллеру основанием для интересного приложения теории интегральных уравнений (Му11ег, Nouvelles Annales de Mathematiques, juillet, 1909).