V. Применение уравнений Лагранжа в теории удара

522. Уравнения.

В Messenger of Mathematics (т. IV, 1867) Нивен показал, как можно использовать в теории удара уравнения Лагранжа. Тот же вопрос исследовал и Раус (Rigid, Dynamics, т. 1). Метод, которому следовали эти авторы, может быть усовершенствован, так как уравнения, которые они предлагают, содержат еще удары связей, происходящие от новых связей, накладываемых в момент удара. Следовательно, эти уравнения не вполне соответствуют цели, которую преследовал Лагранж и заключающейся в получении уравнений, не содержащих реакций связей. Вот как может быть достигнута эта цель.

Рассмотрим движущуюся голономную систему со связями без трения, положение которой определяется геометрически независимыми параметрами Кинетическая энергия Т этой системы является функцией второй степени производных от по времени. В заданный момент на систему внезапно накладываются новые связи. Движение будет тогда нарушено и за очень короткий промежуток времени скорости различных точек системы изменятся на конечные

величины, между тем как система не изменит существенно своего положения. С аналитической точки зрения величины определяющие скорости, за очень короткий промежуток времени изменяются весьма резко от значений

до значений

между тем как величины определяющие положение, не изменяют существенно своих значений. Мы рассматриваем только первое приближение, считая, что промежутком можно пренебречь, и предполагая, что изменяют свои значения внезапно, а величины остаются неизменными. Мы допускаем, кроме того, что новые накладываемые в момент удара связи также являются связями без трения. Однако эти новые связи могут быть как временными, так и постоянными, т. е. после удара они могут исчезнуть, но могут и сохраниться. Первоначально наложенные на систему связи предполагаются сохраняющимися; они будут существовать после удара

Переменные можно всегда выбрать так, чтобы вызывающие удар новые внезапно накладываемые связи выражались уравнениями

где — некоторое целое число, меньшее чем к. В самом деле, новые внезапно наложенные на голономную систему связей выражаются соотношениями вида

Если сделать замену переменных, приняв в качестве новых параметров вместо величины

то новые наложенные на систему связи выразятся, очевидно, соотношениями

Мы будем предполагать, что такой выбор переменных действительно выполнен, так что новые связи выражаются уравнениями (1).

После удара переменные не будут равны нулю, если введенные связи являются временными, и они останутся равными нулю, если эти связи постоянные.

Для получения возможного перемещения системы, допускаемого связями, существовавшими до удара, достаточно придать параметрам произвольные вариации

Но если желательно, чтобы, сверх того, перемещение было допускаемо внезапно наложенными новыми связями, то необходимо, согласно уравнениям (1), принять

оставляя произвольными.

Уравнения движения системы в промежутке времени согласно принципу Даламбера и преобразованию Лагранжа, выражаются формулой

Если произвольны, то правая часть, представляющая собой сумму возможных работ приложенных к системе сил, содержит реакции новых наложенных связей; однако эти последние реакции связей можно исключить, рассматривая возможные перемещения, допускаемые всеми связями, имеющими место в момент удара, т. е. предполагая произвольными, а равными нулю. Тогда уравнение (3) распадется на следующих уравнений:

в которых нет никаких реакций связей. Так как резкие изменения скоростей вызываются исключительно реакциями связей, становящимися очень большими в течение очень короткого промежутка времени то величины происходящие исключительно от непосредственно приложенных обыкновенных сил, таких, как сила тяжести и др., остаются конечными в промежутке Величины остаются также конечными.

Следовательно, если умножить обе части уравнений (4) на и проинтегрировать в пределах от до то, поскольку величина очень мала, интегралами, содержащими — и можно пренебречь. Получим уравнений

являющихся линейными и однородными относительно разностей

В уравнениях (5) величины имеют значения, соответствующие моменту удара, так что равны нулю; но необходимо заметить, что производные не будут обязательно равны нулю ни до удара, ни после него; они будут равны нулю после удара лишь в том частном случае, когда наложенные связи являются сохраняющимися; тогда из линейных уравнений (5) получим значения величин

т. е. найдем скорости после удара. В других случаях мы будем иметь для определения неизвестных

только уравнений и тогда, так же как и в случае удара не вполне упругих тел, необходимо будет сделать дополнительные предположения о поведении системы после удара.

Правило. Резюмируя изложенное, можно сказать, что уравнения (5) выражают следующее правило.

Частные производные от Т по производным от тех параметров, которые не обращаются в нуль в момент удара, имеют одинаковые значения до и после удара.

Пример I. Прямой, удар двух шаров. Рассмотрим два шара, радиусы которых и и массы . Их центры движутся по неподвижной прямой . Предполагается, что оба шара совершают поступательное движение. Обозначим через абсциссы центров обоих шаров; положение системы зависит от двух параметров в момент удара внезапно накладывается новая связь, выражаемая уравнением

обозначающим, что расстояние между центрами равно сумме радиусов. Для определения положения системы примем за два параметра

так что внезапно введенная связь выражается уравнением Тогда

Из предыдущей теории имеем единственное уравнение

так как не обращается в нуль в момент удара, между тем как по условию обратится в нуль. Выполнив вычисления, получим

Это — единственное уравнение, которое дает нам теория. Оно выражает, что сумма проекций количеств движения на ось не изменяется. Чтобы закончить определение необходимо сделать дополнительные предположения, как в п. 510.

Пример II. Круглый однородный диск радиуса и массы М движется в вертикальной плоскости . В момент он наталкивается на неподвижную ось после чего он может лишь катиться по этой оси. Определить скорость диска после удара.

Положение системы до удара зависит от трех параметров: от координат центра тяжести диска и от угла на который он поворачивается в отрицательную сторону от оси к оси . В момент удара вводятся две новые связи:

1) диск остается в соприкосновении с осью , следовательно,

2) диск катится по оси , следовательно, если подходящим образом выбрано положение начала.

Мы примем в качестве параметров

так что вновь накладываемые связи выражаются уравнениями . Имеем

где есть момент инерции диска относительно центра. В новых параметрах

Единственным параметром, который вновь наложенными связями не обращается в нуль, является Следовательно, имеем единственное уравнение

или

Но остается равным нулю, следовательно, , возвращаясь к прежним переменным , получим

где индексами 0 и 1 помечены начальные и конечные значения производных .

Эта формула выражает конечную скорость центра диска при его качении. Если, например, движение таково, что в момент удара

то диск остановится.