383. Твердое тело, движущееся вокруг неподвижной точки; применение триэдра, неизменно связанного с телом.

Рассмотрим материальное твердое тело, движущееся вокруг неподвижной точки О. Для определения положения этого тела относительно неподвижных осей достаточно рассмотреть прямоугольный триэдр , неизменно связанный с телом. Тогда положение тела будет в каждый момент определяться положением этого триэдра, т. е. нужно будет знать три угла Эйлера в функции времени.

Мгновенное вращение с угловой скоростью твердого тела будет тогда тождественно с мгновенным вращением триэдра и его составляющие по подвижным осям определяются вышеприведенными формулами (2). Мы займемся сейчас вычислением кинетической энергии тела и главного момента количества движения различных точек тела относительно неподвижной точки О.

Кинетическая энергия тела. Пусть — скорость какой-нибудь точки тела, имеющей координаты х, у, z относительно подвижных осей связанных с телом. Так как проекции угловой скорости со на оси суть то проекции скорости на эти оси будут (п. 44)

откуда

Воспользуемся обозначениями, принятыми в п. 318:

где А, В, С — моменты инерции тела относительно осей - центробежные моменты инерции. Тогда, вычисляя полную кинетическую энергию тела и обозначая ее через Т, получим

Если, в частности, за оси связанные с телом, принять главные оси инерции в точке О, то коэффициенты будут равны нулю и кинетическая энергия примет вид

Это же выражение кинетической энергии может быть получено следующим образом. Обозначим через момент инерции тела относительно мгновенной оси и через с — направляющие косинусы этой оси относительно осей Получим

Так как угловая скорость вращения равна то кинетическая энергия равна с другой стороны, проекции вектора на оси равны Составив произведение получим найденное уже выражение.

Моменты количеств движения. Главный момент. Построим для момента времени главный момент количеств движения всех точек тела относительно точки О. Проекции вектора на подвижные оси равны Каждая из этих проекций есть сумма моментов количеств движения относительно осей Проекции количества движения точки на оси равны

Следовательно, сумма моментов количеств движения относительно оси всех точек тела будет

или, располагая члены по порядку букв получим

Это выражение при сравнении с выражением кинетической энергии Т показывает, что Точно так же получим суммы моментов количеств движения относительно осей

Если за оси принять главные оси инерции тела в точке О, то выражения для упростятся и превратятся в следующие:

Уравнения движения. Переходим теперь к задаче механики. На твердое тело действуют заданные силы и реакция неподвижной точки О. Для вывода уравнений движения мы применим теорему моментов количества движения.

Рис. 225.

Пусть — суммы моментов заданных сил относительно осей Если построить главный момент этих сил относительно точки О, то получится вектор проекции которого на оси как раз равны Это — вектор главного момента относительно точки О всех внешних сил, так как этот момент состоит из суммы моментов заданных сил, которая равна и момента силы который равен нулю (рис. 225).

Мы видели, что теорема момента количества движения выражается геометрически следующим образом: в каждый момент времени абсолютная скорость а точки а равна и параллельна вектору Следовательно, проекции этой скорости равны проекциям вектора Но точка а имеет в системе подвижных осей координаты Когда изменяется, изменяются и Точка а перемещается относительно подвижных осей с относительной скоростью, проекции которой на оси равны соответственно

Переносная скорость точки о при движении осей имеет на эти же оси проекции

Следовательно, абсолютная скорость а точки а, будучи геометрической суммой относительной и переносной скоростей, имеет проекции

По теореме моментов количеств движения эти проекции равны Следовательно, имеем уравнения движения

в которых должны быть заменены их найденными выше выражениями в функции