485. Вывод уравнений Лагранжа из принципа Гамильтона.
Принцип Гамильтона позволяет легко получить уравнения Лагранжа для голономных систем. Допустим, что положение системы зависит от 
независимых параметров 
. В действительном движении системы параметры 
являются функциями времени 
принимающими при 
заданные значения, так как положения 
, системы в эти моменты времени предполагаются заданными. Для того чтобы сообщить системе в каждый момент времени допускаемое связями перемещение, которое определяется вариациями 
координат, обращающимися в нуль в моменты 
достаточно сообщить параметрам 
произвольные вариации 
обращающиеся в нуль в те же моменты.
Тогда сумма 
примет вид
(п. 441). С другой стороны, Т будет функцией от 
Следовательно, по принципу Гамильтона, если 
являются функциями 
соответствующими действительному движению системы, то выражение 
равно нулю, каковы бы ни были 
Но в каждый момент времени 
имеем
Подставим это выражение в 
и затем преобразуем интегрированием по частям члены с 
Замечая, что 
мы получим
Проинтегрированная часть равна нулю, так как обращается в нуль на пределах. Сделав такое же преобразование со всеми членами, содержащими 
, получим:
где выписан только член с 
, а остальные члены получатся путем перемены индексов. Так как это выражение 
должно равняться нулю, какозы бы ни были 
в функции 
то необходимо, чтобы все коэффициенты при этих вариациях под знаком интеграла были равны нулю. Приравнивая их нулю, мы получим уравнения движения в форме Лагранжа.
Предыдущие вычисления неприменимы к неголономным системам, так как для такого рода систем не будет справедливо равенство 
. [См. Аппель, Bulletin de la Societe mathematique de France, декабрь 1898, и Филипп Журден (Philip Jourdain), Mathematische Annalen, т. LXV, 1908.]
Частный случай, когда составляющие по осям координат приложенных сил равны частным производным функции 
от координат и времени. В этом случае сумма виртуальных работ
будет полным дифференциалом 
функции 
взятым в предположении, что 
рассматривается как постоянная. Тогда имеем 
и принцип Гамильтона приобретает следующую изящную формулировку. Если заданы положения системы в моменты 
то вариация интеграла
при переходе от действительного движения к любому бесконечно близкому движению, допускаемому связями, равна нулю. Следовательно, можно найти действительное движение, если искать такое допускаемое связями движение, для которого интеграл 
имеет максимум или минимум, так как для нахождения такого движения нужно как раз приравнять нулю вариацию интеграла Это, однако, не значит, что действительное движение обязательно обращает интеграл 3 в максимум или минимум. Дарбу показал, что если 
не содержит 
то интеграл 3 будет иметь минимум для действительного движения при условии, что 
достаточно мало. (Lefons sur la theorie generale des surfaces, т. II).
