407. Тяжелое тело вращения, скользящее без трения по неподвижной горизонтальной плоскости.

Вообразим тяжелое твердое тело, подчиненное следующим условиям: 1° эллипсоид инерции для центра тяжести является эллипсоидом вращения вокруг оси тело, ограниченное поверхностью вращения вокруг той же оси, касается неподвижной горизонтальной плоскости. Эти условия выполняются, в частности, для однородного тяжелого тела вращения.

Рис. 237.

Рассмотрим меридиан поверхности вращения, по которому тело касается неподвижной плоскости (рис. 237). Касательная плоскость в точке Р этого меридиана перпендикулярна к плоскости меридиана с которой она пересекается по линии . Пусть С — расстояние от центра тяжести до касательной плоскости и — угол, который образует этот перпендикуляр с является функцией :

которая вполне определена, поскольку меридиан задан. Можно, наоборот, заранее задать соотношение этого вида, и тогда соответствующая поверхность будет иметь меридианом кривую, являющуюся огибающей прямых удовлетворяющих указанным условиям. С другой стороны, очевидно, что если меридиан задан, то расстояние которое мы обозначим через будет также известной функцией . Для определения этой функции заметим, что касательная имеет относительно осей лежащих в плоскости меридиана, уравнение

Так как меридиан является огибающей семейства прямых, поручающегося при изменении 0, то для нахождения координат точки касания Р нужно к этому уравнению присоединить его производную по 0:

Это есть уравнение нормали проходящей через точку Р. Ее расстояние от точки равно Поэтому имеем

Установив это, рассмотрим тело, лежащее на неподвижной горизонтальной плоскости и пусть Р — точка касания поверхности вращения, ограничивающей тело, с плоскостью (рис. 238). Выберем в неподвижной плоскости две перпендикулярные оси и примем в качестве оси вертикаль, направленную вверх. Пусть — координаты центра тяжести — углы Эйлера, определяющие положение главных осей инерции тела относительно осей параллельных неподвижным осям ось направлена по оси вращения, и поэтому главные моменты инерции относительно осей одинаковы, так что А — В.

Как видно из чертежа, С есть расстояние от центра тяжести до касательной плоскости а прямая образует с осью поверхности как раз угол Поэтому имеем

где известная функция. Соотношение (1) как раз и выражает, что тело касается горизонтальной плоскости.

Если через М обозначить массу тела, то действующие на него силы суть вес приложенный в и нормальная реакция плоскости, приложенная в Р.

Так как обе эти силы вертикальны, то два уравнения движения центра тяжести имеют вид

Следовательно, точка которая является горизонтальной проекцией центра тяжести, совершает прямолинейное и равномерное движение.

1°. Горизонтальная проекция точки неподвижна. Допустим сначала для простоты, что начальная скорость, сообщаемая центру тяжести, равна нулю либо вертикальна. Тогда ее горизонтальная проекция будет вначале равна нулю, и так как эта проекция остается постоянной, то она будет равна нулю все время. В этом случае точка будет неподвижна и центр тяжести может лишь колебаться по вертикали, проходящей через эту точку.

Рис. 238.

Применим теорему кинетической энергии для абсолютного движения. Полная кинетическая энергия равна кинетической энергии всей массы, сосредоточенной в центре тяжести сложенной с кинетической энергией в относительном движении вокруг точки Работа нормальной реакции плоскости равна нулю, а элементарная работа силы тяжести равна Следовательно, интеграл энергии имеет вид

Заметим теперь, что моменты относительно оси сил, приложенных к телу, каковыми являются реакция плоскости и равны нулю.

Так как теорема моментов применима к относительному движению вокруг центра тяжести, то отсюда видно, что в относительном движении сумма моментов количеств движения относительно оси постоянна. Следовательно, проекция на главного момента количеств относительного движения постоянна, и так как проекции вектора на оси равны то

Наконец, обе приложенные к телу силы — реакция и вес — пересекают ось вращения . Следовательно, и так как то третье уравнение Эйлера принимает вид

В уравнениях (3) и (4) заменим через и а через их значения в функции производных через и через . Тогда эти уравнения примут вид

где — произвольные постоянные, в то время как — постоянные, имеющие вполне определенные значения:

Два уравнения (6) определяют в функции времени. После этого находятся из соотношения

Исключая из обоих уравнений (6), получим

откуда выражается через при помощи квадратуры. Если является рациональной функцией от то эта квадратура будет гиперэллиптической, если принять за независимую переменную Угол начиная со значений может принимать только такие значения, при которых правая часть равенства

положительна.

Заметим, что так как обозначает расстояние от центра тяжести до неподвижной плоскости, то эта функция остается всегда конечной. Подставим в функцию вместо значения Тогда для функции мы получим знаки так как начальное значение дает очевидно для вещественное значение. Следовательно, значениие заключено между двумя вещественными корнями функции может колебаться лишь между этими корнями. Таким образом, анализ задачи аналогичен проделанному нами в предыдущей главе подробному анализу для движения тяжелого тела вращения вокруг одной из точек своей оси. Исключение позволяет определить также в функции при помощи квадратур.

Кривая, описываемая на плоскости точкой касания. Так как точка предполагается неподвижной, то мы можем принять ее за начало полярной системы координат, у которой полярная ось параллельна оси Радиус-вектор является известной функцией от :

Она определяется формой поверхности вращения, по которой тело касается плоскости. Полярный угол равен Действительно, плоскость совпадает с плоскостью, проектирующей на горизонталь ось вращения, т. е. с плоскостью . Но нормаль к этой плоскости образует с осью угол Следовательно, нормаль к радиусу-вектору

в горизонтальной плоскости образует с угол, равный и угол действительно равен Имеем, следовательно,

Исключая из этого уравнения и из уравнения (8), мы можем при помощи квадратуры получить х в функции , а так как связано с известным уравнением то при помощи еще одной квадратуры мы можем получить х также в функции

2°. Общий случай. Мы предположили, что точка неподвижна. В общем случае эта точка совершает прямолинейное равномерное движение. Тогда изучают движение тела относительно осей имеющих постоянное направление и начало в точке Эти оси совершают прямолинейное и равномерное переносное движение; следовательно, относительное движение тела выражается теми же уравнениями, что и абсолютное движение Так как в этом относительном движении горизонтальная проекция центра тяжести все время находится в начале координат, то задача приводится к случаю, только что рассмотренному.

Примеры. 1°. Волчок. Волчок является тяжелым телом вращения, опирающимся одной из своих точек, например Р, на неподвижную горизонтальную плоскость. Эту точку можно рассматривать как сферу бесконечно малого радиуса с центром в точке Р (рис. 239, а).

Рис. 239.

Тогда тяжелое тело касается горизонтальной плоскости этой сферой. Расстояние определяется здесь формулой

где — длина Далее, Ввиду этого в предыдущих формулах надо положить . Тогда правая часть уравнения (8) обратится в многочлен третьей степени относительно , совпадающий с тем, который встречается в задаче Лагранжа и Пуассона.

2°. Монета. Монета радиуса скользящая без трения по неподвижной горизонтальной плоскости, представляет собой тело вращения, касающееся плоскости по поверхности, вырождающейся в окружность (рис. 239, б). Осью поверхности является нормаль к плоскости монеты, меридианом — точка окружности. В рассматриваемом случае имеем:

3°. Тело касается плоскости по тору с осью . Тогда

4°. Замечание Пюизё (Puis eu х, Journal de Liouville, т. XIII). Какова бы ни была форма поверхности вращения, можно взять настолько большим, что угол будет оставаться сколь угодно близким к своему начальному значению 60. В самом деле, на основании, уравнения (8) необходимо, чтобы в течение всего движения функция

оставалась положительной. Возьмем такие начальные условия: сообщим телу достаточно большую угловую скорость вокруг оси фигуры и затем положим его на плоскость, не сообщая никакой скорости центру тяжести. Тогда в начальньш момент равны нулю. Отсюда на основании выражений в функции вытекает, что также равны нулю в начальный момент, т. е. при Следовательно, на основании формул (6) имеем:

и функция Ф принимает вид

в котором корень выделен явно. Допустим, что угол сначала возрастает. Он не может возрастать до значения , так как при функция становится отрицательной. Следовательно, колеблется между и значением являющимся ближайшим к корнем функции , но меньшим, чем . Покажем, что можно выбрать настолько большим, чтобы было сколь угодно близко к Написав, что обращает в нуль , получим

Пусть — наибольшее из расстояний от центра тяжести тела до плоскости, которой он касается, при любом возможном положении. Тогда будет меньше, чем и так как то

Таким образом, можно выбрать настолько большим, что , следовательно, будут отличаться от сколь угодно мало.

5°. Теория эквилибристической стойки, или гироскопа Жерва Предыдущие вычисления могут быть приложены к движению твердого тела вращения, подчиненного связям без трения, выражаемым аналитически уравнением вида где С — высота центра тяжести над неподвижной плоскостью и — угол, образуемый осью вращения с вертикалью. Это как раз имеет место в описываемом ниже приборе, который подчинен связям, имеющим на первый взгляд совершенно другую природу, чем рассмотренные выше.

Гироскоп Жерва (рис. 240) образован металлической проволокой диаметра примерно 1,5 мм. Он состоит из части имеющей приблизительно форму полукруга, расположенного вертикально выпуклостью вниз, и из ножки часть которой прямолинейна и перпендикулярна к плоскости круга Ножка служит для того, чтобы прибор можно было поставить на горизонтальную плоскость. В А и С проволока изогнута таким образом,

что образуются два подшипника, в которых лежат концы оси гироскопического волчка. При этом средняя плоскость ротора волчка проходит через . Центр тяжести волчка находится на его оси в плоскости, проходящей через перпендикулярно к оси

Если волчок не вращается, то равновесие неустойчиво. Прибор качается вокруг Но если волчок вращается вокруг своей оси с большой угловой скоростью (приблизительно 50 оборотов в секунду), то кажется, что система находится в положении устойчивого равновесия, когда плоскость вертикальна. Отсюда наименование эквилибристическая стойка, данное этой игрушке ее изобретателем. В действительности прибор совершает вокруг кажущегося положения равновесия колебания, обнаруживаемые звуком.

Рис. 240.

Так как масса волчка велика по сравнению с массами оправы и ножки, то последними можно вполне пренебречь. Тогда оправа и ножка, имеющие массы, равные нулю, будут служить лишь для установления между волчком и осью геометрической связи, которая выражается следующим образом. Обозначим через С расстояние от центра тяжести волчка до горизонтальной плоскости, через — длину перпендикуляра, опущенного из этой точки на Когда прибор поворачивается вокруг то ось волчка образует с направленной вверх вертикалью угол Это соотношение тождественно с тем, которое встречается в задаче о движении монеты по горизонтальнй плоскости, и уравнения движения в рассматриваемом случае выводятся из предыдущих общих уравнений, если положить При этом применимо замечание Пюизё, и если предположить достаточно большим, то останется сколь угодно близким к

В частном случае, когда ось вначале горизонтальна и находится в покое, начальное значение будет а начальные значения равны нулю. Тогда общие уравнения показывают, что остается равным

Рис. 241.

Подобное исследование можно найти в статье Карвалло (Carvallo, Bulletin de la Societe mathe-matique, XXI, 1893).