397. Интегрирование в эллиптических функциях.
Уравнение
однозначно определяет и через эллиптическую функцию от переменного 
Чтобы выполнить это преобразование, достаточно применить метод, который был использован в задаче о сферическом маятнике (п. 277), заставив корни 
и играть ту же роль, какую играли корни - 
в задаче о маятнике. Эта аналогия отнюдь не является неожиданной и может быть доведена до полного совпадения, так как задача о сферическом маятнике является лишь частным случаем рассматриваемой задачи — случаем, когда тяжелое тело состоит из одной точки, помещенной в центре тяжести.
После того как а или, что то же, 
будет выражено в функции 
можно определить 
в функции 
из уравнений
в виде квадратур над эллиптическими функциями, которые могут быть выполнены при помощи функций Якоби 
. Величина и является эллиптической функцией переменного 
с вещественным периодом Т, причем
По истечении времени Т величины 
, следовательно, 
принимают первоначальное значение. Функции 
увеличиваются каждая на постоянную
величину. Мы не приводим выкладок. Для их выполнения мы отсылаем читателя к мемуару Лотгнера (Lott пег, Journal de Crelle, т. 50), к сочинениям Альфена (Haiphen) и Гринхилла (Greenhill), к сочинению Аппеля и Лакура, «Основы теории аналитических функций) (Principes de la Th6orie des Fonctions elliptiques), к сочинению Клейна и Зоммерфельда (Ueber die Theorie des Kreisels) и к заметке Лакура (Nouvelles Annales de Mathemati-ques, 3e serie, т. XVIII, 18Э9).
В уже цитированной работе Гринхилла (Proceedings of the London Mathematical Society, т. XXV) содержатся интересные примеры приведения эллиптических интегралов, входящих в общее решение, к интегралам псевдоэллиптическим. Несколько особенно изящных примеров мы укажем в упражнениях.
