VI. Свойства интегралов. Интегральные инварианты

500. Интегралы.

Рассмотрим систему уравнений

где — функции от

Пусть — система независимых интегралов. Для каждой системы решений уравнений (33) интегралы имеют постоянные значения и различные системы решений уравнений (33) отличаются значениями этих постоянных.

Пусть — две различные системы решений.

Если обозначить через результат замены в переменных х переменными х, то переменные х удовлетворяют системе уравнений

Если одновременно рассматривать системы уравнений (33) и (34), то полученная таким образом система допускает интегралы в которых имеются две группы переменных: . О таком интеграле мы будем говорить, что он зависит от двух различных решений системы (33). Возьмем простой пример точки, притягаемой в плоскости, неподвижным центром пропорционально расстоянию.

Уравнения задачи имеют вид

где — прямоугольные координаты точки. Интегралы задачи будут, вообще говоря, функциями двух решений единственной системы

Можно также представить себе интегралы, зависящие от трех, четырех и большего числа решений.

Интересным и важным будет тот случай, когда интегралы зависят от нескольких бесконечно близких решений.

Пусть — система решений уравнений (33) и — система решений, бесконечно близкая к первой. Имеем

и следовательно, принимая во внимание уравнение (33), получим

Эти уравнения, позволяющие исследовать решения, бесконечно близкие к заданному решению, были введены Пуанкаре, который назвал их уравнениями в вариациях решений системы (33).

Рассмотрим теперь однородную функцию относительно коэффициенты которой будут функциями от . Такая функция будет интегралом, зависящим от бесконечно близких решений если ее полная производная в силу уравнений (33) и (35) будет равна нулю. Пусть - эта функция. Имеем

откуда получается условие

Это условие будет необходимым и достаточным для того, чтобы было интегралом. Оно должно иметь место, каковы бы ни были вариации и каковы бы ни были и Допустим, в частности, что функции X не зависят явно от Легко показать, что если в функции заменить величинами то полученная таким образом функция будет интегралом.

В самом деле, функция обратится в функцию Следовательно, имеем

но

и, следовательно,

Это выражение равно нулю, так как правая часть представляет собой результат замены в левой части равенства (36) величин пропорциональными им величинами . Итак, и функция есть интеграл.