415. Относительное равновесие.

Чтобы получить уравнения относительного равновесия, нужно в предыдущих уравнениях положить также равными нулю. Как следствие, будет также равно нулю, и мы получим:

Следовательно, для составления уравнений относительного равновесия нужно написать, что сила уравновешивается центробежной силой.

Точка, координаты которой х, у, z удовлетворяют этим трем уравнениям, будет определять положение относительного равновесия, так как если в это положение привести движущуюся точку, не сообщив ей начальной относительной скорости, то из трех сил, которые могут заставить точку совершать относительное движение, одна, а именно, кориолисова сила инерции обращается в нуль, так как нулю равна относительная скорость, а две другие уравновешиваются. Следовательно, точка останется в относительном покое.

Приложение. Найти положение относительного равновесия тяжелой точки, которая может скользить без трения по плоской кривой С, вращающейся с постоянной угловой скоростью вокруг вертикальной оси находящейся в плоскости этой кривой (рис. 245).

Для будем считать положительным направление снизу вверх.

Силами, действительно действующими на рассматриваемую точку являются ее вес и нормальная реакция

Рис. 245.

Чтобы получить условия относительного равновесия, мы можем рассматривать кривую С как неподвижную и написать, что имеет место равновесие между этими двумя силами и переносной силой инерции Ф.

Для вычисления этой последней рассмотрим геометрическую точку, принадлежащую подвижной системе отсчета, т. е. кривей С, совпадающую с точкой т. В переносном движении эта точка описывает параллель радиуса и поэтому ее ускорение равно и направлено от к Р. Следовательно, сила Ф, которая является в данном случае центробежной силой, имеет значение и направлена по продолжению Рт. Для того чтобы имело место равновесие, необходимо и достаточно, чтобы силы Ф

и имели равнодействующую нормальную к кривой. Из подобных треугольников имеем:

Следовательно, положениями равновесия являются те точки кривой, в которых поднормаль равна причем точка пересечения нормали с осью должна быть расположена над точкой Р. Если в точке А, где касательная горизонтальна, то эта точка будет положением равновесия при любой скорости вращения.

Допустим, например, что заданная кривая является параболой с вертикальной осью, вращающейся вокруг этой оси. Тогда вершина будет единственным положением равновесия, кроме как в случае, когда параметр параболы равен В последнем случае все точки параболы удовлетворяют условиям задачи. Отсюда следует, что свободная поверхность жидкости, совершающей равномерное вращательное движение вокруг вертикальной оси, является параболоидом вращения, так как каждую частицу жидкости, лежащую на поверхности, можно уподобить тяжелой материальной точке, которая может скользить без трения по меридиану.

Если заданная кривая является окружностью радиуса (рис. 245, II), центр которой лежит на оси вращения, то условия равновесия принимают вид

Следовательно, для того, чтобы существовало положение равновесия, отличное от А, необходимо, чтобы было больше чем Когда увеличивается, а постоянно возрастает и стремится к Эти результаты служат основой теории регулятора Уатта для паровых машин.

Если заданная кривая является окружностью радиуса центр С которой не находится на оси вращения, то могут быть два или четыре положения равновесия. Предлагая аналитическое решение в качестве упражнения, ограничимся следующим замечанием (рис. 245, III). Пусть — положение равновесия, — соответствующая поднормаль, равная О — проекция центра С на ось вращения Проведем прямую равную и параллельную и возьмем ось проведенная через Е перпендикулярно к займет известное положение, так как ось займет также известное положение, так как она параллельна оси Кроме того, Прямая равная будет проходить через заданную точку О. Ее концы Е и опираются на две заданные перпендикулярные оси и и нахождение положения равновесия приводится к задаче геометрии: через точку О провести прямую, на которой две фиксированные оси и отсекают отрезок длины Тогда радиус будет параллелен этой прямой. Известно, что эта геометрическая задача имеет два или четыре решения в зависимости от того, будет ли точка О находиться вне или внутри эпициклоиды, являющейся огибающей отрезков длины концы которой скользят по двум осям и . Этот результат был получен Жильбером из уравнений равновесия. (Gilbert, Application des Equations de Lagrange au meuvement relatif, Annales de la Society scientifique de Bruxelles, 1883.)

Примечание. Если надо найти движение точки воащакгцэйся кривои С (рис. 245, I), то достаточно применить теорему кинетической энергии к относительному движению, замечая, что элементарная работа веса равна элементарная работа центробежной силы Ф равна , а работа кориолисовой силы инерции равна нулю. Интеграл энергии получим тогда в виде

Чтобы получить положение относительного равновесия, надо найти такие положения движущейся точки, для которых стоящая в правой части силовая функция имеет максимум или минимум. Максимуму этой функции отвечает положение устойчивого равновесия. Таким образом, можно проверить, что в случае окружности, вращающейся вокруг оси, проходящей через ее центр, положение равновесия в точке А будет устойчиво (рис. 245, II), если существует только такое положение. Но это же положение будет неустойчиво, если точка может занимать другое положение равновесия т. Тогда устойчивым будет это последнее положение.