393. Уравнение герполодии.

Пуансо получил дифференциальное уравнение герполодии. заметив, что выражение дуги этой кривой функции радиуса От идентично выражению дуги полодии в функции того же радиуса, так как обе кривые катятся одна по другой. Мы применим другой метод, приводящий к несколько более коротким вычислениям, который мы заимствуем из заметки Дарбу к «Механике» Депейру (Despeyrous).

Пусть, как и выше, — координаты полюса относительно главных осей инерции Так как отношение постоянно и равно то

Так как являются эллиптическими функциями времени то такими же будут и Уравнения Эйлера, если в них заменить через приводятся к виду

Обозначим, как и выше, через Р проекцию точки О на неподвижную плоскость II, которая содержит герполодию, и обозначим через полярные координаты точки кривой, отнесенной к точке Р. Так как

то имеем следующие уравнения:

из которых первое выражает, что а последние суть уравнения полодии.

Разрешая эти уравнения относительно и полагая

получим:

Мы предположили, что и что заключено между В и С. Тогда является отрицательным, и мы имеем Следовательно, существенно положительно и никогда не обращается в нуль. Это находится в соответствии с тем, что никогда не обращается в нуль. Для того чтобы были положительны, необходимо, чтобы было положительно, отрицательно. Следовательно, колеблется между а и Таким образом, мы опять пришли к тому результату, что радиус-вектор

герполодии колеблется между минимумом и максимумом Дифференцируя перзое из уравнений (33), получим:

или, принимая во внимание уравнения (32),

Это уравнение, если заменить в нем х, у, z через их значения (34) и через принимает вид

Полученное уравнение позволяет найти в функции через эллиптическую функцию. Это выражение в функции нам уже известно, так как х, у, z являются эллиптическими функциями времени

Чтобы найти другое выражение, содержащее полярный угол точки герполодии, нужно исходить из следующего замечания: если являются двумя бесконечно близкими положениями полюса в теле, то плоскость элементарного треугольника касательна к конусу мгновенных осей вращения в теле и проекции площади этого треугольника на главные плоскости эллипсоида равны

С другой стороны, так как конус мгновенных осей От в теле катится по неподвижному конусу с вершиной в точке О и с герполодией в качестве основания, то плоскость касается также и неподвижного конуса, и элементарная площадь равна также площади между двумя соответствующими бесконечно близкими образующими неподвижного конуса. Тогда проекция площади на плоскость II, содержащую герполодию, есть элементарный сектор этой кривой

Так как плоскости образуют с плоскостью П, перпендикулярной к углы с косинусами

Вычислим правую часть. Сначала находим

Далее, в силу уравнений, выводимых из уравнений Эйлера, и в силу уравнений (32) получаем:

Величина, заключенная в скобках, равна как это видно после исключения из двух последних уравнений (33). Следовательно,

Аналогичные выражения найдем путем перестановки букв для и Подставляя найденные выражения в равенство (36), получим после замены величиной

Заменим, наконец, в этом равенстве их значениями (34) в функции и мы получим после сокращений соотношение вида

где Е обозначает постоянную

Соотношения (35) и (38) определяют в функции времени. Исключая из получим уравнение герполодин

которое позволяет найти через квадратуру.

Таким образом, можно построить герполодию и проверить, что она не имеет точек перегиба, для чего нужно вычислить радиус кривизны в функции и доказать, что он никогда не обращается в бесконечность. Этот результат вытекает неравенства , связывающего три момента инерции. Кроме того, мы видим, что герполодия не имеет точек возврата, так как не обращается в нуль при значениях лежащих между а и

Если эллипсоид инерции заменить произвольным эллипсоидом или гиперболоидом, который заставляли бы катиться и вертеться по неподвижной плоскости П, то соответствующая герполодия может иметь точки перегиба или возврата. Может также случиться, что радиус-вектор не будет все время вращаться в одном и том же направлении. Мы отсылаем за более подробным рассмотрением этого вопроса геометрии к заметке Дарбу (Mecanique de Despeyrous) и к работе Гесса, а по поводу выражения к в функции времени к Traite Гринхилла (гл. III).

В частном случае, когда тогда Е, а и с обращаются в нуль, и квадратура, определяющая может быть выполнена в элементарных функциях. В этом случае

и, полагая получим

Это — уравнение спирали, изображенной на рис. 230.

Уравнения (35) и (38) можно получить, исходя также замечания, что абсолютная скорость, с которой полюс описывает герполодию, равна в каждый момент времени относительной скорости по отношению к осям с которой точка М описывает полодию. Это вытекает из того, что соответствующие дуги обеих кривых одинаковы. Тогда получаются два уравнения, если написать, что равны проекции этих двух скоростей на и что равны моменты этих двух скоростей относительно

Герполддиограф Дарбу и Кёнигса. Картина движения, которую дал Пуансо, обладает тем недостатком, что в ней не представлено время. Действительно, если материально осуществить оба конуса, имеющих вершины в точке О, а основаниями полодию и герполодию и если при помощи какого-нибудь сцепления заставить один из них катиться по другому, то еще не будет получаться полное представление движения, так как, кроме того, необходимо катящемуся конусу сообщить мгновенную угловую скорость, которая в каждое мгновение пропорциональна От. Дарбу доказал (заметка в Mecanique de Despeyrous), что можно построить прибор, выполняющий это условие, если к предыдущему представлению движения присоединить другое представление, также принадлежащее Пуансо.

Пусть, как и раньше, есть точка касания эллипсоида инерции с плоскостью проекция центра О на плоскость П. Проведем через центр О (рис. 231) эллипсоида плоскость П, параллельную неподвижной плоскости П, и обозначим через проекцию точки на плоскость П. Мгновенную угловую скорость вращения , направленную вдоль , можно разложить на две, из которых одна, направленная по имеет постоянное значение , а другая, направленная по От, равна Если сообщить плоскости П постоянное вращение с угловой скоростью вокруг то движение эллипсоида относительно плоскости П, которая станет, таким образом, подвижной, приведется в каждый момент к одному вращению вокруг Во время движения положение прямой От меняется как в теле, так и в пространстве. В теле оно описывает конус второго порядка, а в пространстве оно описывает плоскость П. Относительное движение эллипсоида по отношению к плоскости П, которая становится подвижной, приводится, следовательно, к качению конуса по этой плоскости, причем относительная угловая скорость качения постоянно равна

Рис. 231.

Следовательно, движение тела представляется качением конуса неизменно связанного с телом, по плоскости П, причем это качение осуществляется с мгновенной угловой скоростью в то время как плоскость вращается с постоянной угловой скоростью вокруг своей нормали

Проверим теперь, будет действительно конус поверхностью второго порядка. Для составления уравнения этого конуса будем искать геометрическое место различных, положений точки относительно осей эллипсоида. Так как точка лежит на нормали к эллипсоиду инерции в полюсе , то

и так как эта точка лежит в плоскости П, параллельной касательной плоскости к эллипсоиду в точке то имеем также

Мы обозначили через I общее значение отношений (40). Определим из них и подставим в равенство (41). Получим

На основании уравнений (29) и (30) полодин, первый член этого отношения равен 1, а второй равен Следовательно,

и из соотношений (40) получаем для координат точки значения

Таким путем можно определить геометрическое место точек зная геометрические места точек . Так как полодия, геометрическое место точек лежит на конусе

то геометрическое место точек лежит на конусе определяемом уравнением

Таково уравнение конуса геометрического места прямых в теле. Оно действительно второго порядка.

Установив это, вернемся к движению. Сопоставляя оба способа воспроизведения движения, данных Пуансо, мы вндим, что, в то время как центральный эллипсоид катится по неподвижной плоскости П, конус неизменно связанный с телом, катится по плоскости П, а последняя вращается с постоянной угловой скоростью ( вокруг

Допустим теперь, что конус с неподвижной вершиной в точке О и плоскость П осуществлены материально, причем плоскость П может вращаться вокруг а конус при помощи зубчатого зацепления вынужден катиться по плоскости П. Предположим, с другой стороны, что полодня, материально осуществленная на эллипсоиде, вынуждена при помощи зубчатого зацепления или достаточно большого трения катиться по плоскости П. Наконец, вообразим, что тело совершает свое движение. Тогда оно увлекает конус который, катясь по плоскости П, заставляет ее вращаться с постоянной угловой скоростью. Наоборот, если при помощи часового механизма заставить плоскость П вращаться вокруг с постоянной угловой скоростью, то эта плоскость увлечет конус который в свою очередь заставит полодию катиться по плоскости П в соответствии с законом движения. Именно по этому принципу Дарбу и Кённгс сконструировали прибор «герполоднограф», который позволяет вопроизводнть всю кинематику движения твердого тела. Мы не входим здесь в подробности конструкции этого прибора, описание которого можно найти в статье Кбнигса (Koenigs, Revue g6n6rale des Sciences, 30 апреля 1891). Закончим замечанием, принадлежащим Кёнигсу (Bulletin de la Soci6t6 mathmatique de France, т. XVIII, стр. 163 и 131). Главной целью прибора является демонстрация закона изменения скоростей, и поэтому желательно, чтобы это изменение было достаточно заметно и бросалось в глаза. К сожалению, в этом отношении приходится быть весьма ограниченным. Если по неподвижной плоскости заставить катиться произвольный эллипсоид с закрепленным центром при соблюдении закона Пуансо, т. е. с угловой скоростью, пропорциональной диаметру точки касания, то отношение наименьшего значения угловой скорости к Наибольшему ее значению может принимать любые желательные значения между .

Для этого достаточно подходящим образом выбрать эллипсоид и плоскость, по которой он катится. Этим путем можно получить легко заметные изменения угловой скорости, так как она удваивается или увеличивается в пять раз. Но в случае движения твердого тела катящийся эллипсоид является эллипсоидом инерции, и для него . Это неравенство ограничивает выбор катящегося эллипсоида и приводит к тому, что отношение наименьшего значения угловой скорости к ее наибольшему значению будет обязательно заключено между 1 и Это будет доказано в упражнениях. Можно, наконец, осуществить условия, при которых указанное отношение будет сколь угодно близко к этий двум пределам. Изменение будет, таким образом, очень слабым и поневоле потребует большого внимания, чтобы быть замеченным. Следовательно, неравенство , приводит, с одной стороны, к отсутствию точек перегиба у герполодии, а с другой —к некоторой устойчивости значения угловой скорости.

Исследования Альфена а Гринхилла. Гринхилл, интересные исследования которого о случае, когда задача о сферическом маятнике приводится к псевдоэллиптическому интегралу, мы уже цитировали, указал также случай, когда и задача Пуансо приводится к псевдоэллиптическому интегралу. Эти исследования изложены в его «Эллиптических функциях» (Fonctions ellip-tiques) и в работе «On pseudo-elliptic integrals and their dynamical applications (Proceedings of the London Mathematical Society, т. XXV). Наиболее простой случай, приводящий к алгебраической герполодии четвертого порядка, отмечен впервые Гальфеном (Halphen). В этих исследованиях, имеющих исключительно геометрический и аналитический характер, Гальфен и Гринхилл предполагают, что по неподвижной плоскости П катится произвольная центральная поверхность второго порядка, так что в уравнении этой поверхности

коэффициенты произвольны и могут быть отрицательными (см. Halphen, Fonctions elliptiques, т. II, стр. 282).

Теорема Сильвестра. Сильвестр показал, что оба способа воспроизведения движения, предложенные Пуансо, являются частными случаями бесконечного множества других, которые могут быть получены следующим образом: построим поверхность второго порядка, подобную поверхности второго порядка, софокусной с эллипсоидом инерции, и заставим ее катиться и вертеться по плоскости П, параллельной неподвижной плоскости П, находящейся на постоянном расстоянии от центра и совершающей равномерное вращение вокруг (Philosophical Transactions, 1866). Мы ограничиваемся лишь формулировкой этого предложения, которое читатель может доказать в виде упражнения и доказательство которого было указано Дарбу (примечание к Mecanique de Despeyrous).