IV. Принцип Гамильтона. Принцип наименьшего действия
484. Принцип Гамильтона.
В предыдущей главе мы видели, что при движении системы без трения мы имеем в каждый момент 
для любого возможного перемещения 
допускаемого в этот момент связями, уравнение следующего вида:
Этот результат можно выразить также в следующей форме, которая составляет принцип Гамильтона.
Зададимся положениями 
системы в моменты 
. В действительном движении системы из положения 
в положение под действием заданных сил и реакций связей координаты х, у, z ее различных точек будут функциями времени, удовлетворяющими уравнениям связей и принимающими наперед заданные значения при 
Пусть 
- произвольные функции времени 
бесконечно близкие к функциям 
соответствующим действительному движению. Эти новые функции также удовлетворяют уравнениям связей и принимают в моменты 
те же значения, что и х, 
Таким образом 
являются бесконечно малыми функциями времени 
обращающимися в нуль в моменты 
и определяющими в этом интервале перемещения, допускаемые связями. Обозначим через 
кинетическую энергию системы при ее действительном движении и через 
вариацию этой энергии, когда х, у, z получают упомянутые выше вариации 
Принцип Гамильтона заключается в том, что интеграл
равен нулю при всех системах значений 
удовлетворяющих указанным условиям. Сумма стоящая под знаком интеграла, распространяется на все заданные силы, кроме реакций связей. Чтобы доказать, что 
равно нулю, заметим, что
Но
так как 
— равно 
Интегрируя по частям, мы можем последний интеграл написать в виде
где проинтегрированная часть равиа нулю, так как 
обращается на пределах в нуль. Таким же образом мы преобразуем все члены интеграла
после чего окончательно получим
равно нулю, как это вытекает из уравнения (1), которое здесь применимо, так как 
являются перемещениями, допускаемыми связями, имеющими место в момент времени 
