439. Геометрические свойства траекторий.
На рассмотренные только что системы можно распространить теоремы пп. 299 и 301.
Идя по пути, указанному Бельтрами (Beltrami, Memoires de l’Academie des Sciences de l’lnstitut de Bologne, т. VIII, 1869), введем следующие определения.
Пусть дана квадратичная форма
и рассмотрим два перемещения 
соответствующие двум системам значений 
дифференциалов параметров 
Обозначим через 
угол между этими двумя перемещениями, определяемый формулой
Два направления 
взаимно-перпендикулярны, когда
Если дано произвольное соотношение
то мы будем говорить, что оно определяет поверхность. Перемещения, происходящие по этой поверхности, удовлетворяют соотношению
Мы уже называли кривой совокупность значений 
являющихся заданными функциями переменного параметра 
Когда 
увеличивается на 
точка совершает перемещение 
определяемое приращениями 
Мы будем говорить, что кривая ортогональна к поверхности, когда перемещение 
совершаемое по кривой, ортогонально ко всем перемещениям 
совершаемым по поверхности, т. е. удовлетворяющим соотношению (8). Если положить
то условие ортогональности (7) обратится в следующее: 
Сделав такие определения, мы можем непосредственно обобщить теорему, изложенную в п. 299 следующим образом.
Если в уравнениях траекторий
постоянным 
придать определенные значения, а постоянные 
изменять произвольным образом, то полученные
таким путем траектории будут нормальны к поверхностям, имеющим уравнение 
Для доказательства необходимо установить, что перемещения 
совершаемые по поверхностям 
т. е. удовлетворяющие уравнению
ортогональны к действительному перемещению 
совершаемому по траектории. Другими словами, необходимо показать, что условие (10) влечет за собой условие ортогональности (9). Но это и очевидно из теоремы Якоби, на основании которой (п. 473)
а также из самого определения переменных 
согласно которому 
За более подробным исследованием этих вопросов мы отсылаем к книге Дарбу «Лекции по теории поверхностей», т. II, гл. VIII (Legons sur la theorie des surfaces de M. Darboux).
