392. Геометрическое представление движения по Пуансо.

В работе, помещенной в т. XVI Journal de Liouville, Пуансо дал геометрическое представление движения, основанное на следующих теоремах кинематики, которые остаются справедливыми в любом случае движения твердого тела вокруг неподвижной точки.

Рассмотрим эллипсоид инерции тела, построенный в неподвижной точке О и пусть — главные оси инерции этого эллипсоида. В некоторый момент времени мгновенная ось вращения пересекает поверхность эллипсоида в некоторой точке которую Пуансо называет полюсом.

Теорема I. Кинетическая энергия тела равна

В самом деле, на основании самого определения эллипсоида инерции момент инерции тела относительно оси равен

и так как скорости точек тела будут такими, как если бы тело вращалось с угловой скоростью вокруг то кинетическая энергия равна половине произведения момента инерции на квадрат угловой скорости (п. 359)

Теорема II. В каждый момент времена касательная плоскость к эллипсоиду инерции в полюсе перпендикулярна к главному моменту количеств движения.

В самом деле, эллипсоид инерции, отнесенный к осям имеет уравнение

Направляющие косинусы вектора равны координаты полюса относительно тех же осей можно представить в виде

Следовательно, уравнение касательной плоскости в точке

принимает вид

Эта плоскость перпендикулярна к вектору проекции которого равны

Теорема III. Расстояние от неподвижной точки до плоскости, касательной к эллипсоиду инерции в полюсе, равно квадратному корню из удвоенной кинетической энергии, деленной на главный момент количеств движения.

В самом деле, расстояние от точки О до касательной плоскости

что и доказывает теорему.

Применим теперь эти три теоремы к частному случаю, когда силы, приложенные к твердому телу, приводятся к одной равнодействующей, проходящей через неподвижную точку. Тогда:

1°. Кинетическая энергия будет постоянной и равной или Следовательно, имеем

2°. Главный момент количеств движения имеет фиксированное направление: плоскость, касательная к эллипсоиду в точке будет также иметь фиксированное направление, перпендикулярное к

3°. Главный момент имеет постоянную величину I или и поэтому расстояние от точки О до касательной плоскости в точке равное

будет также постоянным.

В результате плоскость П, касательная в точке будет неподвижна, так как она имеет постоянное направление и находится на постоянном расстоянии от неподвижной точки О.

Мы пришли, следовательно, к выводу, что эллипсоид инерции постоянно касается неподвижной плоскости П. Точка касания является полюсом, прямая — мгновенной осью, а мгновенная угловая скорость равная пропорциональна . Пуансо называет полодией кривую, описываемую полюсом на поверхности эллипсоида, и герполодией — кривую, описываемую полюсом на неподвижной плоскости II (рис. 228).

Рис. 228.

Конус, являющийся геометрическим местом мгновенных осей в теле, имеет вершину в точке О, и в качестве направляющей — полодию; конус, являющийся геометрическим местом мгновенных осей в пространстве, имеет вершину тоже в точке О, а в качестве основания — герполодию. Для получения движения нужно заставить первый конус катиться по второму таким образом, чтобы мгновенная угловая скорость была в каждый момент пропорциональна От, так как

Так как точка эллипсоида, которая находится в соприкосновении с плоскостью П, имеет в каждый момент скорость, равную нулю, поскольку она находится на мгновенной оси, то можно также сказать, что движение получится, если заставить эллипсоид инерции катиться и вертеться (без скольжения) по неподвижной плоскости П. Положение этой неподвижной плоскости известно из начальных условий.

Можно еще иначе представить себе движение, допустив, что материально осуществлена поверхность катящегося конуса, ограниченная полодией: образованное таким образом тело катится по плоскости П, и его следом является герполодия (рис. 228а). Так как полодия катится по герполодии без скольжения, то соответствующие дуги обеих кривых имеют одинаковые длины.

Рис. 228а.

Полодия. Найдем уравнение полодии. С этой целью отнесем эллипсоид инерции к его осям. Мы можем определить полодию как геометрическое место точек эллипсоида, в каждой из которых касательная плоскость

находится на постоянном расстоянии начала координат. Это условие выражается уравнением

Это уравнение совместно с уравнением эллипсоида

определяет полодию, которая является, таким образом, алгебраической кривой четвертого порядка. Можно себе представить вид этой кривой, если рассматривать ее как пересечение эллипсоида и конуса, являющегося геометрическим местом мгновенных осей вращения От в теле или, что то же, являющегося катящимся конусом. Уравнение этого конуса получится путем исключения правых частей из равенств (29) и (30), что приводит к уравнению

Для того чтобы этот конус был вещественным, необходимо, чтобы

Это — очевидное условие того, что расстояние от касательной плоскости до начала координат должно быть меньше, чем наибольшая

полуось и больше, чем наименьшая полуось Конус вырождается в две мнимые плоскости, т. е. в прямую, совпадающую с осью или с осью когда или Это легко объяснить геометрически, поскольку концы большой оси и концы а и а малой оси являются единственными вещественными точками, в которых касательная плоскость имеет максимальное или минимальное расстояние от начала. Полодия будет тогда состоять из двух точек с к с или а и а (рис. 229). При конус распадается на две вещественные плоскости, проходящие через среднюю ось

Рис. 229.

Это как раз те самые плоскости, с которыми мы встречались при аналитическом исследовании задачи. В этом случае полодии состоят из двух эллипсов пересекающихся на двух концах средней оси.

Таким образом, полодия является пересечением эллипсоида инерции и конуса второго порядка, имеющего те же плоскости симметрии. Она состоит из двух различных замкнутых ветвей, симметричных друг к другу относительно центра и одной из главных плоскостей эллипсоида. Каждая ветвь имеет в качестве плоскостей симметрии две другие главные плоскости эллипсоида (рис. 229) и обладает четырьмя вершинами 1, 2, 1, 2, для которых радиус-вектор , выходящий из центра, имеет максимум или минимум. При движении одна из ветвей полодии катится по неподвижной плоскости П. Эта ветвь — единственная используемая; вторая ветвь катится по плоскости, симметричной к П относительно точки О.

Важно дать себе отчет о различных формах, которые принимает полодия, в зависимости от начальных условий. Представим себе эллипсоид инерции (рис. 229). Так как мы предполагаем, что то ось является малой осью, а — большой. Обозначим через , с вершины поверхности. В зависимости от начальных условий постоянная изменяется между А и С. При конус, который является геометрическим местом мгновенных

осей вращения в теле, вырождается в ось и полодия — пересечение этого конуса и эллипсоида — вырождается в точку симметричную точку а. Когда немного уменьшится, полодия будет состоять из маленькой замкнутой кривой окружающей а, и из симметричной кривой окружающей а. Если будет продолжать уменьшаться, то кривые будут удаляться от и при эти кривые соединятся в точках и и распадутся на два эллипса . Точно так же при полодия выродится в две вершины . При увеличении полодия будет вначале состоять из двух маленьких симметричных замкнутых кривых окружающих эти вершины; затем эти кривые будут увеличиваться, и при они опять обратятся в эллипсы .

Таким образом, имеются два вида полодий. Одни из них окружают вершины малой оси, а другие вершины большой оси. Эти два вида полодий разделяются особой полодией, соответствующей и образованной двумя эллипсами . Через каждую точку поверхности эллипсоида проходит одна и только одна полодия. Когда все эти кривые уже начерчены, то чтобы узнать, какая полодия соответствует заданным начальным условиям, достаточно знать точку в которой ось начального мгновенного вращения пересекает эллипсоид. Искомой полодией будет та, которая проходит через Что касается соответствующей неподвижной плоскости П, то это — плоскость, касающаяся в эллипсоида в его начальном положении.

Герполодия. Если опустить из неподвижной точки перпендикуляр на плоскость П (рис. 228), то длина равна Радиус-вектор какой-нибудь точки герполодии имеет длину

Мы видели, на основании формы полодии, что расстояние. От. от полюса до центра изменяется между его минимумом и максимумом. Следовательно, также изменяется между соответствующими минимумом и максимумом Герполодия заключена поэтому между двумя концентрическими окружностями радиусов которых она последовательно касается в точках, таких, как Она имеет форму, указанную на рис. 228. Это — кривая, обращенная всегда вогнутостью к точке Р и не имеющая точек перегиба. Это обстоятельство, впервые замеченное Гессом (диссертация, Мюнхен, 1880; Math. Annalen, т. XXVII) и вновь открытое де Спарром (de Sparre, Comptes rendus, 1884), заслуживает быть отмеченным, так как Пуансо в своей работе неточно изобразил герполоиду, приг дав ей синусообразную форму. Доказательство можно найти в статье Паде (Padd, Nouvelles Annales, 4 serie, т. VI, июль 1906).

Дуга герполодии есть четверть дуги 1, 2 полодии (рис. 228). Когда все точки полодии соприкоснутся последовательно с плоскостью, полюс займет в эллипсоиде первоначальное положение, но в плоскости II радиус-вектор повернется на угол, равный поскольку на полодии имеются четыре вершины. Если этот угол несоизмерим с то герполодия не будет замкнутой: полюс никогда не займет одновременно точно то же самое положение на эллипсоиде и на плоскости, которое он занимает в данный момент. Если же этот угол соизмерим с то герполодия будет замкнутой и по истечении некоторого промежутка времени полюс займет опять прежнее положение и на эллипсоиде и на плоскости.

Рис. 230.

Частные случаи. Если или то полодия и герполодия обратятся в точки. Эллипсоид будет вертеться, оставаясь в соприкосновении с плоскостью своей вершиной на большой или малой оси.

Если то полодия обратится в два эллипса проходящих через среднюю ось. Малая ось одного из этих эллипсов, как это легко проверить, равна средней оси Движение в этом случае получится, если заставить один из эллипсов, центр которого неподвижен, катиться по плоскости II. Так как эта плоскость находится от центра на расстоянии, равном то минимум радиуса герполодии равен нулю; максимум имеет некоторое значение Герполодия будет тогда иметь форму двойной спирали (рис. 230), Имеющей вершину Т, соответствующую максимуму и состоящую из двух симметричных относительно ветвей, приближающихся асимптотически к точке Р. Только одна часть этой герполодии будет в действительности описываться; это та ее часть, которая идет от начального положения полюса до точки Р в том или другом направлении. Время, нужное для того, чтобы полюс пришел в положение Р, бесконечно, несмотря на то, что длина спирали конечна, так как она равна периметру катящегося эллипса.

Когда эллипсоид является эллипсоидом вращения, полодия и герполодия будут окружностями. Если он является сферой, то. полодия и герполодия будут всегда точками.

Устойчивость вращения вокруг главных осей. В частных случаях, когда тело начинает вращаться вокруг одной из главных осей инерции, такое вращательное движение продолжается неопределенно долго; мгновенная ось будет неподвижной в теле и в пространстве. Легко видеть, что это единственные случаи, когда мгновенная ось остается неподвижной в теле. В самом деле, полагая мгновенную ось неподвижной в теле и обозначая через с её направляющие косинусы относительно координатных осей имеем:

где — постоянные. Тогда интеграл кинетической энергии (12) показывает, что постоянна. Следовательно, три составляющие будут постоянными и уравнения Эйлера будут иметь вид

Если эллипсоид инерции не является эллипсоидом вращения, то из этих уравнений вытекает, что две из величин равны нулю, т. е. что тело вращается вокруг главной оси инерции. Если эллипсоид является эллипсоидом вращения вокруг оси то и либо и тело вращается вокруг оси, лежашей в плоскости экватора, т. е. вокруг главной оси инерции, либо и тело вращается вокруг главной оси Наконец, в случае тело вращается вокруг главной оси инерции, так как все оси являются главными.

Теперь возникает вопрос, будет ли вращение тела вокруг одной из этих главных осей инерции устойчивым движением нет. При этом вообще говорят, что движение является устойчивым, если произвольным бесконечно малым изменениям начальных условий соответствует бесконечно малое изменение самого движения. Движение называется неустойчивым, если некоторое бесконечно малое изменение начальных условий влечет за собой конечное изменение движения.

Если то вращения, вокруг большой и малой осей эллипсоида инерции являются устойчивыми, а вращение вокруг средней оси неустойчиво. В самом, деле, сообщим телу начальное вращение вокруг малой оси. Тогда эта ось останется неподвижной, полюс вращения совпадет с вершиной касательная плоскость в точке будет неподвижной. Если теперь изменить бесконечно мало начальные условия, сообщив телу начальное вращение вокруг оси, бесконечно близкой к то полодия обратится в малую замкнутую кривую, бесконечно близкую к вершине малой оси. Следовательно, мгновенная ось опишет в теле вокруг своего первоначального положения конус с бесконечно малым углом раствора. Неподвижная плоскость П,

которой эллипсоид будет касаться в новом движении, будет бесконечно близкой к и перпендикуляр опущенный из О на эту плоскость, будет бесконечно близким по величине и по положению к Радиус-вектор От герполодии, имея длину, бесконечно близкую к отклонится бесконечно мало от перпендикуляра т. е. Следовательно, мгновенная ось опишет также и в пространстве конус, бесконечно близкий к своему первоначальному положению. Таким образом, рассматриваемое вращение устойчиво. То же будет и в случае вращения вокруг большой оси.

Но если тбло начнет вначале вращаться вокруг средней оси, то бесконечно малое изменение начальных условий приведет полюс в положение начиная от которого он будет описывать полодию, окружающую либо вершину а, либо вершину с. Тогда ось отклонится от своего первоначального положения на конечную величину; вращение будет неустойчивое.

Эллипсы (рис. 229) разделяют эллипсоид на четыре части: две, содержащие вершины , и две другие, содержащие вершины с и с.

Следуя замечанию Бура естественно принять за меру устойчивости вращения вокруг оси отношение площади части, содержащей а, к половине площади эллипсоида инерции. Действительно, если начальные условия изменяются так, что полюс находится в этой части, то мгновенная ось описывает в теле конус вокруг своего первоначального положения Точно так же устойчивость вращения вокруг измеряется площадью части, содержащей эту ось. Например, если эллипсоид очень близок к эллипсоиду вращения вокруг т. е. если очень мало, то часть, содержащая а, будет очень мала, так что устойчивость вращения вокруг будет слабой, так как маленькое смещение оси может вывести полюс из этой части и заставить вращаться вокруг

Если эллипсоид будет точно эллипсоидом вращения (продолговатые снаряды), то устойчивыми будут вращения только вокруг оси симметрии. В самом деле, если тело вращается вокруг одной из главных осей в плоскости экватора и если в каком-нибудь случае полюс будет немного отклонен от этой плоскости, то он будет описывать на поверхности эллипсоида круг, параллельный экватору и почти совпадающий с ним. Следовательно, ось в теле сильно отклонится от своего первоначального положения. Интересно отметить, что в пространстве ось, напротив, останется очень близкой к своему первоначальному положению, так как длина От мало отличается от экваториального радиуса.

Если эллипсоид инерции является сферой, то все его оси будут одинаково устойчивыми или скорее безразличными, так как мгновенная ось, если она будет смещена со своего места в другое, снова станет неподвижной и в теле и в пространстве (см. Bour, Dynairrique, стр. 165).