Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
392. Геометрическое представление движения по Пуансо.В работе, помещенной в т. XVI Journal de Liouville, Пуансо дал геометрическое представление движения, основанное на следующих теоремах кинематики, которые остаются справедливыми в любом случае движения твердого тела вокруг неподвижной точки. Рассмотрим эллипсоид инерции тела, построенный в неподвижной точке О и пусть Теорема I. Кинетическая энергия тела равна В самом деле, на основании самого определения эллипсоида инерции момент инерции тела относительно оси и так как скорости точек тела будут такими, как если бы тело вращалось с угловой скоростью Теорема II. В каждый момент времена касательная плоскость к эллипсоиду инерции в полюсе В самом деле, эллипсоид инерции, отнесенный к осям
Направляющие косинусы вектора
Следовательно, уравнение касательной плоскости в точке
принимает вид
Эта плоскость перпендикулярна к вектору Теорема III. Расстояние от неподвижной точки до плоскости, касательной к эллипсоиду инерции в полюсе, равно квадратному корню из удвоенной кинетической энергии, деленной на главный момент количеств движения. В самом деле, расстояние от точки О до касательной плоскости
что и доказывает теорему. Применим теперь эти три теоремы к частному случаю, когда силы, приложенные к твердому телу, приводятся к одной равнодействующей, проходящей через неподвижную точку. Тогда: 1°. Кинетическая энергия будет постоянной и равной
2°. Главный момент 3°. Главный момент
будет также постоянным. В результате плоскость П, касательная в точке Мы пришли, следовательно, к выводу, что эллипсоид инерции постоянно касается неподвижной плоскости П. Точка касания
Рис. 228. Конус, являющийся геометрическим местом мгновенных осей в теле, имеет вершину в точке О, и в качестве направляющей — полодию; конус, являющийся геометрическим местом мгновенных осей в пространстве, имеет вершину тоже в точке О, а в качестве основания — герполодию. Для получения движения нужно заставить первый конус катиться по второму таким образом, чтобы мгновенная угловая скорость
Так как точка эллипсоида, которая находится в соприкосновении с плоскостью П, имеет в каждый момент скорость, равную нулю, поскольку она находится на мгновенной оси, то можно также сказать, что движение получится, если заставить эллипсоид инерции катиться и вертеться (без скольжения) по неподвижной плоскости П. Положение этой неподвижной плоскости известно из начальных условий. Можно еще иначе представить себе движение, допустив, что материально осуществлена поверхность катящегося конуса, ограниченная полодией: образованное таким образом тело катится по плоскости П, и его следом является герполодия (рис. 228а). Так как полодия катится по герполодии без скольжения, то соответствующие дуги обеих кривых имеют одинаковые длины.
Рис. 228а. Полодия. Найдем уравнение полодии. С этой целью отнесем эллипсоид инерции к его осям. Мы можем определить полодию как геометрическое место точек
находится на постоянном расстоянии
Это уравнение совместно с уравнением эллипсоида
определяет полодию, которая является, таким образом, алгебраической кривой четвертого порядка. Можно себе представить вид этой кривой, если рассматривать ее как пересечение эллипсоида и конуса, являющегося геометрическим местом мгновенных осей вращения От в теле или, что то же, являющегося катящимся конусом. Уравнение этого конуса получится путем исключения правых частей из равенств (29) и (30), что приводит к уравнению
Для того чтобы этот конус был вещественным, необходимо, чтобы
Это — очевидное условие того, что расстояние полуось
Рис. 229. Это как раз те самые плоскости, с которыми мы встречались при аналитическом исследовании задачи. В этом случае полодии состоят из двух эллипсов Таким образом, полодия является пересечением эллипсоида инерции и конуса второго порядка, имеющего те же плоскости симметрии. Она состоит из двух различных замкнутых ветвей, симметричных друг к другу относительно центра и одной из главных плоскостей эллипсоида. Каждая ветвь имеет в качестве плоскостей симметрии две другие главные плоскости эллипсоида (рис. 229) и обладает четырьмя вершинами 1, 2, 1, 2, для которых радиус-вектор Важно дать себе отчет о различных формах, которые принимает полодия, в зависимости от начальных условий. Представим себе эллипсоид инерции (рис. 229). Так как мы предполагаем, что осей вращения в теле, вырождается в ось Таким образом, имеются два вида полодий. Одни из них окружают вершины малой оси, а другие вершины большой оси. Эти два вида полодий разделяются особой полодией, соответствующей Герполодия. Если опустить из неподвижной точки перпендикуляр
Мы видели, на основании формы полодии, что расстояние. От. от полюса до центра изменяется между его минимумом и максимумом. Следовательно, Дуга
Рис. 230. Частные случаи. Если Если Когда эллипсоид является эллипсоидом вращения, полодия и герполодия будут окружностями. Если он является сферой, то. полодия и герполодия будут всегда точками. Устойчивость вращения вокруг главных осей. В частных случаях, когда тело начинает вращаться вокруг одной из главных осей инерции, такое вращательное движение продолжается неопределенно долго; мгновенная ось будет неподвижной в теле и в пространстве. Легко видеть, что это единственные случаи, когда мгновенная ось остается неподвижной в теле. В самом деле, полагая мгновенную ось неподвижной в теле и обозначая через
где
Если эллипсоид инерции не является эллипсоидом вращения, то из этих уравнений вытекает, что две из величин Теперь возникает вопрос, будет ли вращение тела вокруг одной из этих главных осей инерции устойчивым движением Если которой эллипсоид будет касаться в новом движении, будет бесконечно близкой к Но если тбло начнет вначале вращаться вокруг средней оси, то бесконечно малое изменение начальных условий приведет полюс в положение Эллипсы Следуя замечанию Бура Если эллипсоид будет точно эллипсоидом вращения (продолговатые снаряды), то устойчивыми будут вращения только вокруг оси симметрии. В самом деле, если тело вращается вокруг одной из главных осей в плоскости экватора и если в каком-нибудь случае полюс Если эллипсоид инерции является сферой, то все его оси будут одинаково устойчивыми или скорее безразличными, так как мгновенная ось, если она будет смещена со своего места в другое, снова станет неподвижной и в теле и в пространстве (см. Bour, Dynairrique, стр. 165).
|
1 |
Оглавление
|