V. Множитель Якоби

Мы даем в этих последних параграфах некоторые общие указания о множителе Якоби и об интегральных инвариантах Пуанкаре. Мы примем тот же способ изложения, которому следовал Кёниге (Koenigs) в своих лекциях в Collfege de France, с тем, чтобы одновременно познакомить и с важными результатами, принадлежащими этому ученому (Comptes rendus, декабрь 1895, январь 1896).

492. Определение множителя.

Известно, что если дана система дифференциальных уравнений

где функции переменных то их первым интегралом называется любая функция которая остается постоянной при всех удовлетворяющих системе (1). Следовательно, линейное относительно дифференциалов уравнение

будет следствием уравнений (1). Необходимое и достаточное условие этого выражается уравнением

Левую часть этого уравнения обычно обозначают через .

Если известны независимых между собой интегралов то всякий другой интеграл будет функцией этих же величин и наоборот, любая функция будет интегралом. Поэтому, если обозначить через какой-нибудь произвольный интеграл, то функциональный определитель

равен нулю и, наоборот, если обращает в нуль этот определитель, то это значит, что есть функция от и поэтому есть интеграл.

Вследствие этого, если известна система независимых интегралов, то уравнение (2) может быть заменено уравнением

Отсюда можно сделать вывод, что существует такая функция М, что имеет место тождество

Якоби назвал эту функцию М множителем.

Обозначим через минор определителя соответствующии члену Тогда имеем

так что тождество (4), в котором есть произвольная функция от эквивалентно соотношениям