502. Теорема Пуассона.

Рассмотрение интегралов, зависящих не от двух, а от трех бесконечно близких решений, приводит, как это показал Пуанкаре, к теореме Пуассона новым путем.

В самом деле, рассмотрим каноническую систему

Пусть - система решений и пусть — две системы решений, бесконечно близких к первым.

Билинейная форма

является интегралом. В этом можно убедиться, исходя из общего тождества, имеющего место для линейных дифференциальных форм.

Пусть

— линейная дифференциальная форма. Положим также

и

Возьмем три системы дифференциалов . Имеем тождественно

Отсюда следует

что также является тождеством.

Примем тогда в качестве форму Мы видим, что

Отсюда, на основании тождества (50),

Но если дифференциалы соответствуют такому изменению переменной что выполняются уравнения (49), то

Таким образом, имеем

что и доказывает теорему.

Пусть, наоборот, линейная форма

является интегралом; положим

где означает бесконечно малую постоянную. Мы утверждаем, что есть система решений, бесконечно близких к решениям

В самом деле, имеем, по предположению,

Заменяя их значениями (49), получим

Это соотношение должно иметь место, каковы бы ни были следовательно, получаются уравнения:

которые после замены пропорциональными величинами принимают вид

и точно таким же образом

удовлетворяют уравнениям, полученным путем вариирования уравнений (49).

Отсюда вытекает следующее следствие.

Пусть — интеграл уравнений (49).

Очевидно, что будет интегралом, зависящим от двух бесконечно близких решений; но

следовательно, по предыдущей теореме будут решениями уравнений в вариациях.

То же и с другим интегралом будут также решениями уравнений в вариациях.

Но мы видели, что сумма

является интегралом. Следовательно, сумма

является тоже интегралом, и мы вновь получаем теорему Пуассона.

Мы закончим главу ознакомлением с новыми понятиями, введенными Пуанкаре под названием интегральных инвариантов.