396. Случай Лагранжа и Пуассона.

Примем за ось ось вращения эллипсоида инерции относительно точки О, а за положительное направление на этой оси возьмем направление , идущее от начала координат к центру тяжести О. Тогда . Кроме того, так как есть угол между осями Посмотрим сначала, во что обратятся оба интеграла (44) и (45), которые существуют всегда. Прежде всего по теореме кинетической энергии имеем:

Далее, написав, что проекция главного момента количеств движения на ось есть постоянная К, и вспоминая выражения в функции получим на основании равенства (45):

К этим двум интегралам мы присоединим уравнение Эйлера

которое в данном случае принимает вид

так как равны нулю. Эти три уравнения можно написать следующим образом:

где — положительные постоянные коэффициенты, соответственно равные — произвольные постоянные интегрирования.

Мы будем в дальнейшем предполагать, что отлично от нуля. Если то движение оси тела будет тождественно с движением нити сферического маятника (п. 277).

Углы связаны с отношениями:

Подставляя эти значения в вышенаписанные уравнения, мы приведем их к виду

Исключая из первых двух, получим уравнение для 0:

Полагая в нем получим:

Второе из уравнений (49) примет теперь вид

а третье

Многочлен отрицателен при значениях а, равных и положителен при и при начальном значении и, равном (Кроме того, при величина будет вещественной.) Следовательно, многочлен имеет три вещественных корня , заключенных соответственно в промежутках

Мы можем поэтому написать:

где последний множитель существенно положителен, так как и, будучи косинусом, всегда заключен между —1 и +1. Величина а, начиная с должна все время оставаться в промежутке между

и для того, чтобы оставалось положительным. Отсюда следует, что угол колеблется между двумя предельными углами косинусы которых равны Когда и возрастает от до надо брать

При уменьшении и от до нужно брать знак

Если описать вокруг оси (рис. 232) два круговых конуса с вершиной в точке О и с углами при вершине то ось будет постоянно заключена между этими двумя конусами. Для изображения опишем из точки О как из центра сферу единичного радиуса, которая пересечет оба конуса по параллелям с общим полюсом где буквой обозначена точка пересечения сферы с осью

Рис. 232.

Точка в которой ось вращения пересекает сферу, характеризуется величиной а. Она всегда заключена между двумя параллелями и описывает кривую, идущую от одной из них к другой. Когда эти две параллели очень близки между собой, ось тела описывает приближенно круговой конус вокруг оси Когда начальные условия таковы, что обе эти параллели совпадают то ось описывает совершенно точно круговой конус с осью . В общем случае кривая, описываемая точкой касается обеих окружностей . В самом деле, определим положение точки на сфере с помощью дуги и полярного угла образуемого дугой и меридианом . Этот угол измеряется дугой большого круга с полюсом Так как прямая которая образует с осью угол перпендикулярна к плоскости то дуга равна и

Так как

то, исключая находим

Это — дифференциальное уравнение кривой, представляющей собой геометрическое место точек Из этого уравнения при помощи одной квадратуры получаем функции и, следовательно, в функции .

Угол V, который образует касательная к геометрическому месту точек с меридианной дугой определяется формулой

что непосредственно видно из прямоугольного треугольника образованного бесконечно малой дугой кривой дугой параллели и дугой меридиана . В этом треугольнике угол в точке есть V, дуга равна и дуга равча поскольку радиус этой дуги равен (рис. 232, I). Так как мы положили то имеем:

или на основании (54)

Угол V делается прямым всякий раз, когда и принимает одно из значений и, или обращающих в нуль. Кривая действительно касается обеих параллелей (рис. 232, I и III). Исключение будет лишь в том частном случае, когда один из пределов обращает в нуль числитель Тогда на соответствующей параллели обратится в нуль и кривая будет иметь на этой параллели точку возврата (рис. 232, II). Ниже мы покажем, что такое обстоятельство может случиться только на верхней параллели

Чтобы увидеть, какие различные формы может иметь эта кривая, посмотрим, в какую сторону может вращаться на сфере дуговой радиус-вектор

На основании соотношения

величина сохраняет один и тот же знак, если значение обращающее в нуль числитель, не заключено между Тогда дуга будет вращаться все время в одну и ту же сторону и кривая будет иметь форму (рис. 232). Если заключено между то то положительно, то отрицательно, и дуга поворачивается то в одну, то в другую сторону. Кривая имеет форму

(рис. 232). Если равно одному из пределов, то опять будет сохранять знак, но тогда кривая имеет точки возврата на параллели, соответствующей этому пределу (рис. 232, II).

Эти три случая легко различаются по начальным условиям. Если по абсолютному значению превосходит 1, то оно не может заключаться между Если абсолютное значение величины меныие 1, то выражение

которое получается после подстановки этой величины в имеет тот же знак, что зависимости от того, будет ли этот множитель положительным отрицательным, величина в первом случае будет заключена между пределами их и а во втором — не будет заключаться между ними. В промежуточном случае величина может равняться нулю. Тогда равно одному из пределов или Легко видеть, что оно всегда будет . В самом деле, положим

Тогда если заменить а этим значением, обратится в следующее:

Один из корней, заключенных между очевиден; другой должен обратить в нуль выражение в квадратных скобках; следовательно, он делает положительным, и потому он меньше чем Таким образом, значение может иметь лишь больший корень и поэтому точки возврата могут находиться лишь на верхней параллели Этот последний случай возникает при легко осуществимых начальных условиях, которые будут изложены в следующем пункте.

В случае формы III (рис. 232) при изображении на чертеже предположено, что полное изменение соответствующее периоду полного колебания и от их до и от до их, отлично от нуля и имеет тот же знак, что и элементарное изменение этого угла в момент, когда и достигает своего наименьшего значения их. Строгое доказательство этого свойства завело бы нас слишком далеко; оно может

быть найдено в заметке Адамара (Нadamагd, Bulletin des Sciences mathdmatiques, 1895, I-я часть, стр. 228).

Может случиться, что наибольший корень равен 1. Тогда верхняя параллель выродится в полюс сферы. Этот случай представится, в частности, тогда, когда ось в начальный момент совпадает с направленной вверх вертикалью.