433. Приведение уравнений движения к наименьшему числу.

В каждой данной системе для получения наиболее общего возможного перемещения, допускаемого существующим в момент связями, необходимо и достаточно сообщить параметрами произвольные вариации . Тогда говорят, как мы это уже делали в статике (п. 171), что рассматриваемая система обладает степенями свободы. В таком случае мы можем получить уравнения движения, следуя по тому же пути, что и в статике (п. 171). Так как наиболее общее возможное перемещение системы в момент определяется произвольными вариациями то вариации координат различных точек системы являются определенными, если выбраны . Следовательно, для вариаций координат имеем выражения вида

в которых нужно полагать

Если внести эти значения в общее уравнение (1) динамики:

то получится уравнение вида

где величины и имеют вид:

причем

Так как уравнение (3) должно удовлетворяться, каковы бы ни были возможные перемещения, допускаемые связями в момент то оно должно удовлетворяться при любых вариациях Следовательно, мы должны иметь

Таким образом, мы получили уравнения движения системы. Число этих уравнений в точности равно числу к степеней свободы системы. Именно таким образом в п. 288 мы последовательно получили уравнения движения свободной точки, точки, скользящей по заданной неподвижной или движущейся поверхности, и точки, скользящей по заданной неподвижной или движущейся кривой.

Мы вернемся к этим общим уравнениям в следующей главе.

Системы голономные и неголономные. С точки зрения аналитического выражения связей существующие системы делятся на две категории: на системы голономные, в которых все связи могут быть выражены уравнениями с конечными членами, и на системы неголономные, такие, как, например, обруч, велосипед, в которых некоторые из связей (условие качения колес по неподвижной поверхности) выражаются дифференциальными соотношениями.

Мы подробно изучили случай обруча (статика, пп. 171 и 172 и динамика, п. 411).

Уравнения, которые мы сейчас установили, справедливы во всех случаях.