VII. Системы, содержащие сервосвязи

470. Сервосвязи.

В замечательной диссертации «Теоретическое исследование гироскопических компасов Аншютца и Сперри», защищенной в ноябре 1922 г. перед Факультетом наук в Париже, Анри Бёген (Henri Beghin) ввел новое понятие о сервосвязях.

Существует важная категория механизмов, осуществляющих связи методом, совершенно отличным от тех, которые мы рассматривали до сих пор. Для такого рода механизмов нельзя отвлечься от способа осуществления связей.

Связи, осуществляемые этими механизмами, могут быть любыми; чаще всего они бывают голономными. Но связи эти осуществляются не при помощи простого контакта, так сказать, не пассивно. Их осуществление связано с использованием разных сил (электромагнитных, давления сжатого воздухч и т. д.) или, другими словами, с использованием вспомогательных источников энергии, которые автоматически вступают в действие и автоматически регулируются, причем так, чтобы в каждый момент осуществлять ту или иную связь. Этот механизм можно сравнить с живым существом, действующим непосредственным прикосновением и регулирующим свои усилия так, чтобы заданная связь осуществлялась.

Пусть твердое тело , например диск, движется вокруг диаметра под действием некоторых заданных сил. Тело , например концентрическое кольцо, охватывающее диск, движется вокруг того же диаметра не имея никакого касания с телом . Кольцо имеет на оси зубчатое колесо а, находящееся в зацеплении с шестерней насаженной на вал мотора М. Легко представить себе устройство которое, не действуя непосредственно ни на , ни на , приводит в движение мотор М в ту или другую сторону каждый раз, когда и не находятся в одной плоскости. Если а и — азимуты диска и кольца то осуществляется связь

Таким образом, кольцо ) следует за диском во всех его движениях вокруг не будучи непосредственно им увлекаемо. Очевидно, что характер поведения этой системы не имеет ничего общего с тем, что получилось бы, если бы диск увлекал кольцо путем прямого контакта, например, если бы к была прикреплена пластинка, упирающаяся в . В частности, в первом случае (сервосвязь) угловое ускорение системы не зависит от момента инерции кольца а во втором случае (прямой контакт) зависит от него (см. пример на стр. 351).

Выясним, каковы в этом примере реакции связей. Если рассматривать систему то этими реакциями с одной стороны будут реакции

вдоль оси которые являются обычными реакциями связей, и реакции шестерни действующие на колесо а. Эти реакции, играющие в задаче основную роль, имеют совершенно особый характер, так как шестерня их вызывающая (не входящее в систему тело или препятствие, осуществляющее добавочную связь), не неподвижна, но и не совершает того движения, закон которого заранее известен как функция времени. Характер этой добавочной связи известен заранее как функция параметров (здесь а и ), от которых зависит положение системы .

Если в рассматриваемую систему включить ротор мотора М, то реакциями связей, кроме обычных сил реакций (силы давления со стороны неподвижной оси и взаимные давления в местах соприкосновения ротора с кольцом будут также и электромагнитные силы, действующие на ротор со стороны статора. Эти силы будут действительно иметь характер реакций связей, так как наперед они неизвестны, но известно, какие значения они должны иметь, чтобы осуществить рассматриваемую связь.

При любом возможном перемещении, допускаемом связью работа реакций обыкновенных связей равна нулю. Напротив, работа реакций добавочных связей, развиваемых посторонними телами, положение которых зависит от параметров а и или электромагнитными силами, действующими на ротор на расстоянии, не равна нулю. Именно по этой причине механизмы, содержащие сервосвязи, отличаются от других.

Общее исследование механизмов, содержащих сервосвязи. Принцип Даламбера. Пусть дана материальная система в которой отсутствует рассеивание энергии. Допустим, кроме того, что все части этой системы (за некоторыми исключениями, которые будут указаны ниже) являются недеформируемыми (абсолютно твердыми).

Будем считать, что положение системы при наложенных на нее связях зависит от некоторого ограниченного числа параметров таким образом, что координаты х, у, z каждого элемента системы являются заранее известными функциями этих параметров и, быть может, времени

Пусть некоторые из посторонних тел, осуществляющих связи, с которыми 2 находится в соприкосновении, или неподвижны или движутся так, что закон их движения в функции времени известен. Положения других посторонних тел и, следовательно, характер осуществляемых ими связей будем считать зависящими от некоторого числа введенных параметров например от и также, быть может, от времени

Условия соприкосновения у всех этих связей считаются такими, что связи являются голономными.

Допустим, кроме того, что на систему наложены некоторые неголономные связи, т. е. что параметры связаны некоторым числом линейных дифференциальных зависимостей, выражающих условия качения без скольжения и верчения на некоторых поверхностях или линиях соприкосновения. Эти зависимости позволяют выразить элементарных приращений

в функции Они имеют вид

Этими условиями определяются неголономные контактные связи. Таковы те два единственных вида связей, которые мы обычно встречаем.

При всяком элементарном перемещении, допускаемом связями системы в момент времени т. е. при перемещении, при котором равно нулю, произвольны, работа взаимных реакций между телами системы, так же как и реакций неподвижных или зависящих от связей, равна нулю. Мы будем говорить, что эти реакции являются реакциями связей первого рода.

Кроме того, предполагается, что на систему 2 наложены другие связи, которые мы будем называть сервосвязями, также выражаемые конечными или линейными дифференциальными уравнениями, но осуществляемые совершенно иными силами; эти силы, которые мы назовем обобщенными реакциями связей или реакциями связей второго рода, приложены к телам системы и могут быть как внешними, так и внутренними.

К числу внешних относятся силы, действующие на расстоянии, например, электромагнитные или другие силы, автоматически регулируемые таким образом, чтобы обеспечить конечную или дифференциальную связь, которую они должны осуществлять; ими будут также контактные действия посторонних тел (препятствий), положение которых будет, как указывалось, зависеть от и движение которых должно автоматически регулироваться таким образом, чтобы параметры удовлетворяли в каждый момент времени некоторым конечным или дифференциальным уравнениям.

Внутренними реакциями связей второго рода будут либо действия на расстоянии, такие, как электромагнитные, либо внутренние усилия между телами, поддающимися сжатию или растяжению (сжатый воздух, мускулы живого существа), усилия, которые должны регулироваться автоматически, например по желанию живого существа, таким образом, чтобы осуществлять ту или иную связь. Кроме этого исключения, система не будет предполагаться деформируемой.

Система может быть образована, например, электродвигателем, угловая скорость которого не зависит от нагрузки, каким может быть в некоторых случаях синхронный двигатель. Осуществляемая таким образом сервосвязь будет вида

Подобная система может быть также образована велосипедистом и его машиной. Велосипедист может сокращать свои мускулы не на заданную величину, а на величину, подобранную таким образом, чтобы оказались осуществленными некоторые связи, например он может регулировать действия ног таким образом, чтобы получать постоянную угловую скорость, или сокращать мускулы тела так, чтобы осуществлялся наклон рамы в виде определенной функции от и т. д. Указанные ниже методы позволят изучить изменение неизвестных параметров.

Можио также представить себе, как пример, корабль , у которого часть груза о автоматически приводится в движение мотором таким образом, чтобы осуществились некоторые связи. Можно, например, в качестве условия сервосвязи потребовать, чтобы корабль был постоянно вертикальным, что можно осуществить при помощи стабилизатора боковой качки. Маленький гироскопический прибор, основанный на принципе стабилизатора Шлика укажет на борту истинную вертикаль; сервомотор вступит в действие, если эта вертикаль не будет находиться в плоскости симметрии корабля. Таким образом, можно регулировать движение груза о так, чтобы осуществилась нужная зависимость между положением груза и наклоном корабля. Таким же образом можно изменять по желанию период колебаний корабля и избегать резонанса при качке. Можно, регулируя движение груза а, осуществлять такую зависимость между его положением и угловой скоростью корабля, которая позволит гасить колебания и т. д. Реакциями связей второго рода здесь будут взаимодействия между .

Мы будем говорить про материальную систему, у которой имеются реакции связей второго рода, что она содержит сервосвязи. Очевидно, что возможная работа реакций связей второго рода, вообще говоря, не будет равна нулю.

Условившись в этих определениях, допустим, что сервосвязи выражаются соотношениями, из которых одни являются конечными, а другие дифференциальными вида

Возможные перемещения системы, допускаемые контактными связями, такими, какие существуют в момент мы получим, если выберем по произволу вариаций остальных вариаций определятся тогда из соотношений (2), которые приводятся здесь к следующим:

Среди этих перемещений имеются такие, для которых можно заранее утверждать, что работа реакций связей второго рода равна нулю, не зная о самих связях ничего, кроме их способа действия. Мы будем предполагать, что это такие перемещения, которые совместно удовлетворяют зависимостям

Тогда принцип Даламбера, приложенный к любому из этих перемещений, выразится уравнением

где знак в левой части распространяется на все элементы системы, масса одного из этих элементов, — проекции его ускорения и знак в правой части распространяется на все заданные силы . В самом деле, очевидно, что на этих перемещениях работа реакций связей, какими бы они ни были, первого или второго рода, равна нулю.

Это уравнение распадается на уравнений, так как элементарных вариаций связаны зависимостями (2) и зависимостями (4), и поэтому только из них будут независимыми.

Для составления этих уравнений мы применим метод множителей Лагранжа. Если выразить при помощи уравнений (1) в функции то левая часть уравнения (5) станет суммой членов вида

где обозначает любой из параметров. Правая часть будет суммой членов вида

и уравнение Даламбера напишется так

К этому уравнению мы добавим зависимостей (2), умноженных соответственно на коэффициенты и зависимостей (4), умноженных соответственно на Эти коэффициенты составляют вспомогательных неизвестных. Мы получим уравнение

где принимает значения Множители могут быть выбраны таким образом, чтобы коэффициенты при вариациях равнялись нулю, так как имеется в виду, что соотношения (2) и (4) являются независимыми. Уравнение (9) должно удовлетворяться, каковы бы ни были остальные вариаций так что коэффициенты при этих вариациях в уравнении (9) должны также равняться нулю.

В результате задача приводится к разрешению уравнений:

к которым нужно присоединить уравнений (2), выражающих неголономные контактные связи, и уравнений (3) сервосвязей. Всего получается, таким образом, уравнений с неизвестными

Если окажется, что превышает то задача, вообще говоря, будет невозможной, т. е. нельзя будет осуществить сервосвязи, число которых превосходило бы число ограничительных условий, которые нужно наложить на параметры чтобы обратить в нуль возможную работу реакций второго рода.

Если равно то задача решается с помощью уравнений (2), (3) и (10).

Если меньше то движение будет неопределенным, так как понятно, что если условия, которым должны удовлетворять эти реакции второго рода, определены недостаточно, то их исключение становится невозможным и движение не может быть исследовано, если оно частично не задано.

Частные случаи, 1°. Допустим, что уравнения (2), выражающие, что возможные перемещения допускаются неголономными контактными связями, и уравнения (4) для перемещений, при которых обращается в нуль работа реакций связей второго рода, разрешены относительно вариаций

Множители Лагранжа в этом случае делаются бесполезными. Подставляя в уравнение (8) эти выражения для мы получим линейное уравнение относительно которое должно удовлетворяться, каковы бы ни были эти вариации, откуда следуют уравнений вида

где - одно из чисел .

К этим уравнениям нужно присоединить уравнений (2) и уравнений (3) сервосвязей.

2°. Если уравнения (11) приводятся к виду

то уравнения движения принимают простой вид

3°. Допустим, что реакции связей второго рода являются исключительно контактными действиями некоторой вспомогательной системы подвижных препятствий (тел), положения которых зависят от некоторых параметров из . В этом случае соотношения (4) будут:

ибо как раз, оставляя неподвижными эти препятствия, мы обратим в нуль работу сил их действия на заданную систему . В этом случае станут ненужными множители как уравнение (8) содержит только

Уравнения (10) приведутся теперь к следующим:

число которых равно и к которым, как и в общем случае, нужно присоединить соотношений (2) и соотношений (3), так что получатся уравнений с неизвестными. Задача будет определенной, если число уравнений сервосвязей будет равно числу к параметров, от которых зависит вспомогательная система

4°. Сохраняя предположения предыдущего случая (3°), допустим, кроме того, что все контактные связи являются голономными Тогда множители также станут ненужными и уравнения (10) приведутся к следующим — к уравнениям:

к которым нужно будет присоединить уравнений (3) сервосвязей. Неизвестными будут только

Примечания. 1°. В системах без сервосвязей возможными перемещениями, к которым применимо уравнение Даламбера, являются те, которые допускаются всеми связями. В системах, содержащих сервосвязи, это будут совершенно другие перемещения. Отсюда становятся ясными причины аналитического различия, существующего между обеими категориями систем, и понятен также весь интерес, связанный с практической точки зрения с механизмами, содержащими сервосвязи.

2°. В случае, когда реакциями связей второго рода являются исключительно реакции подвижных препятствий, положение которых есть функция некоторых параметров (случаи 3° и 4°), решение задачи не будет зависеть от инерции этих тел и приложенных к ним заданных сил.

Если в какой-нибудь системе, подчиненной соотношениям сервосвязей, можно выделить такие две части и что на частичную систему не будет действовать никакая реакция связей второго рода, кроме реакций системы и если, кроме того, число параметров, от которых зависит система равно числу условий сервосвязей, то ни заданные силы, приложенные к системе ни ее инерция не будут влиять на движение системы . Метод, указанный в случаях 3° и позволит тогда составить уравнения задачи, не вводя в них ни заданных сил, ни характеристик инертности системы Частичная система будет при этом играть вспомогательную роль. Этот частный случай не редко встречается в приложениях.

Равновесие систем, содержащих сервосвязи. Принцип Даламбера дает условия равновесия, если отбросить члены Р, происходящие от сил инерции рассматриваемой системы. Уравнения (10), относящиеся к общему случаю, и уравнения (12), (14) и (16) или (17), относящиеся к изученным частным случаям, переходят в уравнения равновесия, если в них положить все величины Р равными нулю. К этим уравнениям необходимо присоединить те из уравнений сервосвязей, которые конечны. Дифференциальные уравнения,

выражающие неголономные связи, как обычные, так и сервэсвязи, очевидно, не присоединяются: они удовлетворяются тождественно.

Приложение. Уравнения Лагранжа. Пусть выполняются определенные с самого начала (стр. 345) общие условия. Если все наложенные контактные связи являются голономными, то координаты х, у, z различных элементов рассматриваемой системы выражаются в конечной форме через время и параметры от которых зависит положение системы [уравнения (1)].

Тогда выражение

имеет значение

Заменяя в уравнениях (10) величины этими значениями, мы распространим тем самым уравнения Лагранжа на системы, содержащие сервосвязи.

Существенно заметить, что кинетическую энергию надо вычислять в функции переменных совершенно пренебрегая сервосвязями. То же самое будет и для элементарной работы

заданных сил. Если эти силы имеют силовую функцию, т. е. если суть частные производные некоторой функции и от то эта функция будет вычисляться без использования сервосвязей, и только при составлении самих уравнении, т. е. в выражениях можно принимать во внимание сервосвязи. Однако так как производная от по времени вычисляется для действительного движения, которое совместимо с сервосвязями, то можно в выражении до дифференцирования по выполнить все упрощения, вытекающие из этих связей. Итак, сервосвязи можно принимать во внимание лишь после того, как закончено вычисление трех выражении

Уравнение энергии. Пусть контактные связи не зависят от , в частности, в уравнениях (2), выражающих неголономные связи, отсутствуют члены с пусть далее заданные силы имеют силовую функцию Умножим уравнения (10), определяющие движение в общем случае, на приращения параметров при действительном перемещении и сложим результаты. Выражение

представляет собой взятую с обратным знаком работу сил инерции т. е. дифференциал кинетической энергии. Выражение

равно Множитель имеет при себе коэффициент

который равен нулю, так как перемещение удовлетворяет уравнениям (2). То же самое будет и для аналогичных коэффициентов при

Имеем, следовательно, уравнение

Мы видим, таким образом, что не будет постоянным. Члены с представляют элементарную работу реакций связей второго рода, которая не равна, вообще говоря, нулю, так как не предполагается, что для действительного перемещения выполняются условия (4). В зависимости от знака эта работа соответствует для рассматриваемой системы или прибавлению, или затрате механической энергии.

То же самое будет и в каждом определенном выше частном случае: из сочетаний кинетической энергии не получится выражение так как в уравнения движения входит лишь часть выражений

Отсюда вытекает интересный вывод, что сервосвязи могут позволить по желанию увеличивать или уменьшать механическую энергию системы, и, в частности, амортизировать колебания системы, в которой отсутствует рассеивание энергии.

Пример. Пластинка , расположенная в неподвижной горизонтальной плоскости, шарнирно связана в точке С с круговым диском лежащим в той же плоскости и движущимся вокруг своего неподвижного центра О. Постоянная сила параллельная неподвижной прямой действует на пластинку в точке А, лежащей на прямой, соединяющей точку С с центром тяжести Сервомотор М при помощи особого сцепления действует на диск причем так, что постоянно осуществляется связь

Исследуем движение системы. Так как в ней имеется только одна серво-связь, а положение диска зависит только от одного параметра а, то система , взятая изолированно, подходит под частный случай 4° (стр. 349). Следовательно, уравнения Лагранжа можно применить отдельно к пластинке ; мы видим, что масса диска , не влияет на движение. Напишем кинетическую энергию пластинки :

где — момент инерции пластинки относительно точки

Возможная работа силы будет

Единственное уравнение для которое нужно написать, будет

Но, принимая во внимание уравнение сервосвязи, имеем

С другой стороны,

и следовательно, уравнение движения имеет вид

Если бы связь была осуществлена непосредственным касанием между и то движение было бы совершенно иное. Оно определялось бы уравнением

где момент инерции диска относительно точки О. Из уравнения (3) легко найти движение: получится в виде суммы показательного члена и члена, синусоидального относительно изменяется между двумя пределами, из которых один может стать равным бесконечности. Напротив, уравнение (4) даст колебательное движение наподобие маятника.

Для получения положений равновесия нужно приравнять нулю правую часть уравнения (2). Таким путем получатся два положения, для которых параллельно силе. Наоборот, из уравнения (4) получатся положения, для которых силе параллельна прямая

Приложение уравнений, выведенных в п. 465. Уравнения, выведенные в представляют следующие преимущества: 1° они могут быть приложены к системам, подчиненным неголономным связям, без введения неизвестных вспомогательных множителей; 2° они допускают использование вспомогательных параметров, связанных с действительными координатами дифференциальными зависимостями.

Рассмотрим систему 2, удовлетворяющую условиям, указанным вначале (стр. 345). Пусть положение этой системы при наложенных на нее контактных голономных связях зависит от параметров , быть может, от времени причем так, что координаты каждого элемента системы суть конечные функции вида

Допустим, что к параметрам присоединены вспомогательных параметров связанных с предыдущими параметрами дифференциальными соотношениями, которые служат лишь для определения вспомогательных параметров (никакие реакции связей этим соотношениям не соответствуют). Выпишем названные соотношения с соотношениями, выражающими неголономные контактные связи, так как при составлении уравнений они всюду входят одинаково.

Мы имеем дифференциальных соотношений вида

Допустим, что сервосвязи представлены конечными или дифференциальными соотношениями:

Наконец, возможные перемещения, для которых обращается в нуль работа реакций связей второго рода, будут те, которые удовлетворяют соотношениям:

После этого составим выражение

называемое энергией ускорения. Если мы выразим через и через первые и вторые производные по времени параметров то увидим, что члены Р в уравнении Даламбера представятся в виде

Отсюда и получаются уравнения движения.

Случай, когда дифференциальные уравнения (2), определяющие вспомогательные параметры и неголономные контактные связи, разрешены относительно величин Для того чтобы уравнения движения представлялись наиболее просто, полезно разрешить уравнений относительно величин из общего числа этих величин. Таким путем мы выразим, с одной стороны, производных

соотношениями вида

и, с другой стороны, возможных перемещений в функции

где коэффициенты суть функции от Разумеется, параметры могут быть выбраны с одинаковым успехом как среди действительных координат, так и среди вспомогательных параметров

Установив это, мы, вместо того, чтобы выражать в функции параметров и их первых и вторых производных, как это намечалось сделать выше, используем уравнения (5), которые заменяют собой уравнения (2). Дифференцируя уравнение (5) по выразим вторые производные в функции и в функции первых производных от параметров Таким путем можно исключить из вторые производные после чего обратится в функцию от и от вторых производных . Мы знаем, что при этих условиях взятая с обратным знаком возможная работа сил инерции равна

Если, с другой стороны, воспользовавшись соотношениями (6), выразить возможную работу заданных сил при помощи только то для этой работы получится выражение вида

Эти два выражения должны быть равны между собой для всех перемещений, обращающих в нуль работу реакций связей второго рода, т. е. для всех перемещений, удовлетворяющих соотношениям (4). Здесь также представляется выгодным воспользоваться соотношениями (6), что позволит исключить в уравнениях (4) величины Эти уравнения, будучи разрешены относительно вариаций из числа оставшихся перепишутся так:

Заменяя в выражениях (7) и (8) вариации их значениями (9) и принимая во внимание, что эти выражения должны быть равны друг другу при любых значениях оставшихся произвольными вариаций мы получим следующие уравнения движения

Эти уравнения проще, чем написанные для той же задачи уравнения Лагранжа [см. уравнение (12) на стр. 348], так как в каждом из них содержится членов вместо членов в уравнениях Лагранжа. Уравнения (10) осложнены только коэффициентами появляющимися в связи с необходимостью рассматривать те перемещения, для которых работа реакций связей второго рода равна нулю, и нисколько не обусловленными неголономными связями.

К уравнениям (10) следует присоединить уравнений (5) и уравнений (3), выражающих сервосвязи.

Случай, когда перемещения, обращающие в нуль работу реакций связей второго рода, определены зависимостями вида

Сохраняя предположения предыдущего случая, допустим, что условия, которым должны удовлетворять перемещения, чтобы обратить в нуль работу реакций связей второго рода, имеют простую форму (11). Впрочем, можно всегда свести задачу к этому случаю путем введения, если это необходимо, подходящим образом подобранных вспомогательных параметров.

В этом случае, который по существу является общим, если производить вычисления, как только что было указано, уравнения (10) упрощаются и принимают такой же вид, как и в случае отсутствия сервосвязей:

Мы видим, что уравнения, выведенные в п. 465, дают общее решение вопроса в более простой форме, чем уравнения Лагранжа. К этим уравнениям необходимо присоединить уравнений (5) и уравнений (3) сервосвязей. Если то число уравнений равно числу неизвестных.

Пример. Материальная плоскость Р может скользить поступательно по неподвижной горизонтальной плоскости По плоскости Р может катиться без скольжения шар радиуса Движение плоскости Р автоматически регулируется таким образом, что центр шара равномерно

вращается вокруг с угловой скоростью относительно неподвижных осей Исследовать движение при помощи уравнений п. 465.

Пусть и и — координаты какой-нибудь точки А плоскости Р относительно осей . Положение этой плоскости определяется только этими двумя параметрами. Положение шара определяется координатами ее центра и, например, углами Эйлера определяющими ее ориентацию.

Если суть проекции на оси координат мгновенной угловой скорости шара, то для получения условий качения без скольжения нужно написать, что совпадающие в момент материальный элемент шара и материальный элемент плоскости имеют одинаковые скорости. Отсюда получаем

Сервосвязей будет две:

Так как число этих соотношений равно числу параметров, от которых зависит положение плоскости Р, то можно разрешить задачу, прилагая уравнения п. 465 к одному только шару 2.

Принимая во внимание только голономные контактные связи, мы будем рассматривать шар, как зависящий от семи параметров Полезно присоединить три вспомогательных параметра связанных с предыдущими параметрами соотношениями

Эти параметров связаны между собой тремя последними соотношениями и двумя соотношениями (1), выражающими неголономные контактные связи. Соотношения (1) можно написать так:

Соотношения (3) и являются дифференциальными соотношениями общей теории [стр. 352, уравнение (2)] .

Из параметров мы сохраним параметров. Мы выберем и выразим энергию ускорений шара в функции вторых производных этих параметров, воспользовавшись соотношениями (3) и Значение определяется формулой

или на основании (3) и

Возможные перемещения, обращающие в нуль работу реакций связей второго рода, определяются условиями

поскольку эти реакции являются реакциями плоскости на шар. Эти условия имеют вид, указанный в предыдущем параграфе [уравнение (11)], так что уравнения движения имеют вид [уравнения (12)]

Правые части равны нулю, так как работа заданных сил (вес шара) равна нулю, и мы получаем уравнения:

которые совместно с уравнениями сервосвязей (2) решают задачу. Эти пять уравнений непосредственно интегрируются и показывают, что точка А описывает циклоиду. Формулы (1) показывают, что вектор мгновенной угловой скорости остается параллельным образующим наклонного конуса, основанием которого является горизонтальная окружность, описываемая с угловой скоростью О).

УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)