II. Подобие в механике. Модели

532. Подобие.

Теория подобия тесно связана с теорией размерности. Мы рассмотрим последовательно подобие в геометрии, кинематике и механике.

Подобие в геометрии. Рассмотрим некоторую геометрическую фигуру А и построим подобную ей фигуру а. Пусть, например, А будет статуя, ее уменьшенная репродукция. Если — длина какой-нибудь линии в А, а l — длина соответствующей ей линии в а, то отношение

называется отношением (коэффициентом) подобия.

Так, полагая, что отношение подобия говорят, что статуя а есть модель статуи А, уменьшенная в десять раз.

При этих условиях, если есть площадь какой-нибудь части поверхности в - площадь части соответствующей поверхности в а, то

Точно так же, если Р — объем некоторой части А и — соответствующий объем в а, то

Отсюда следует, что если в А при произвольно выбранной единице длины существует зависимость

между некоторыми длинами некоторыми площадями и некоторыми объемами в фигуре а будет существовать между соответствующими длинами, площадями и объемами та же самая зависимость

В самом деле, если зависимость (1) справедлива при любом выборе единицы длины, то она должна быть справедливой, если эту единицу уменьшить или увеличить в X раз. Следовательно, по правилам однородности

что в точности совпадает с зависимостью (2).

Так, в пирамиде объем Р есть одна треть произведения основания S на высоту Н:

В сокращенной модели будет также

Подобие в кинематике. Пусть материальная система движется относительно неподвижного прямоугольного триэдра . В момент Т эта система образует с триэдром геометрическую фигуру А, изменяющуюся вместе с Т.

Вообразим теперь другую систему, движущуюся относительно неподвижного прямоугольного триэдра и удовлетворяющую следующим условиям: между двумя моментами и Т можно установить такую зависимость

что в момент вторая система образует с триэдром фигуру а, подобную той фигуре А, которую первая система образует в момент Т с триэдром причем отношение подобия X обеих фигур постоянно.

При этих условиях обе системы проходят через последовательность положений и форм, которые между собой геометрически подобны.

Говорят, что оба движения кинематически подобны, если зависимость между соответствующими моментами и Т, когда обе системы а и А подобны, имеет вид

где постоянная, — два соответственных момента времени.

Тогда существует два постоянных отношения подобия, одно к для длин, другое х — для времени.

Траектории двух соответственных точек. Пусть Р и — положения двух соответственных точек фигур А и а в соответственные моменты Т и а — их положения в моменты и 0. Дуги траекторий обеих точек подобны и их отношение подобия равно X. В самом деле, согласно сделанным предположениям два радиуса-вектора и в соответственные моменты одинаково ориентированы относительно триэдров и и их отношение равно X. Следовательно, Р и описывают подобные дуги, причем длины и I дуг находятся в отношении X:

Скорости и ускорения двух соответственных точек. Пусть V и - скорости и ускорения двух соответственных точек Р и в моменты Проекции векторов V и Г на оси соответственно равны

где через обозначены координаты точки Р относительно осей Точно так же проекции векторов на оси равны

Так как

то мы видим, что векторы V и Г с одной стороны и векторы с другой стороны подобно расположены в обеих фигурах А и а в соответственные моменты и их длины связаны соотношениями

Применение принципа однородности показывает, что если в первом движении существует между длинами, площадями, объемами, скоростями и ускорениями какое-нибудь соотношение, не зависящее от выбора единиц длины и времени, то такое же соотношение будет существовать и во втором движении.

Подобие в механике. Рассмотрим две кинематически подобные материальные системы и допустим, что массы и М двух соответственных частей обеих систем находятся в постоянном отношении

одинаковом для всех масс системы. Тогда обе системы механически подобны.

Пусть - силы, действующие на две соответственные частицы обеих систем в моменты — массы этих частиц. Г и у — их ускорения. Тогда имеем

Следовательно, обе силы подобно расположены в обеих системах. С другой стороны, их отношение постоянно:

Следовательно, если через обозначить постоянное отношение гомологических сил в моменты , то

Это фундаментальное для теории подобия в механике соотношение показывает, что три из четырех отношений подобия могут быть выбраны произвольно, но четвертое будет тогда определяться зависимостью (3).

Отсюда на основании принципов подобия (п. 76) видно, что если в первой системе существует какое-нибудь не зависящее от выбора единиц соотношение между длинами, площадями, объемами, массами, скоростями, ускорениями и силами, то такое же соотношение будет существовать между соответственными элементами второй системы.

Зависимость, выражаемая уравнением (3), была уже дана Ньютоном в его Philosophiae naturalis principia mathematica (книга II, раздел I, предложение XXXII).

Эта теория и ее приложение к исследованию машин по их уменьшенным моделям составляют содержание работы Бертрана Note sur la similitude en Mecanique (Journal de l’Ecole Polytechnique, XXXIIе, Cahier).

По этому же вопросу можно указать также на главу, посвященную размерностям и подобию в сочинении Пионшона .

Исследование машины уменьшенной модели. Теорема Ньютона приводит часто к очень интересным практическим заключениям. В частности, ее применяют, когда хотят исследовать какую-нибудь механическую конструкцию на малой модели.

Пример I. Допустим, например, мы имеем уменьшенную модель локомотива и обозначим через X отношение геометрического подобия этой модели к локомотиву, который надлежит построить. Тогда отношение площадей будет , а отношение объемов будет . Если предположить, что как в машине, так и в модели материалы одинаковы, то отношение одной массы к другой будет равно и такое же будет отношение сил, вызванных тяжестью. Следовательно, Отсюда заключаем, что отношение одного времени к другому равно или а потому отношение скоростей, равное будет тоже равно Таким образом, скорости модели и машины должны относиться между собой как корни квадратные из их размеров.

Такое условие необходимо для осуществления механического подобия между моделью и машиной. Необходимо, однако, заметить, что приложенными силами будут не только силы тяжести. Силы давления пара должны также относиться как , и так как они пропорциональны площадям, т. е. пропорциональны величинам и силам, приходящимся на единицу площади, то необходимо, чтобы эти силы находились в отношении X. Таким образом, подобие требует, чтобы в модели сила давления пара на единицу площади находилась в отношении геометрического подобия к силе давления пара на единицу площади в действительной машине.

Сопротивление воздуха пропорционально площадям и приблизительно пропорционально квадратам скоростей, т. е. или , и оно удовлетворяет условию

Силы трения скольжения, пропорциональные давлениям, находятся в отношении этих давлений, т. е. в отношении .

Наконец, силы сопротивления качению, которые в разбираемом случае могут рассматриваться как приблизительно пропорциональные давлениям и обратно пропорциональные диаметрам колес, находятся в отношении у или кг, если материал колес одинаков у модели и у машины. В модели сопротивление качению слишком велико.

Для осуществления подобия необходимо, следовательно, чтобы колеса модели были сделаны из материала, сопротивление которого качению при всех прочих равных обстоятельствах было бы меньше сопротивления качению материала колес машины, причем это уменьшение должно равняться отношению геометрического подобия X.

Таким образом, мы видим, что для получения модели, в четыре раза меньшей рассматриваемого локомотива, удовлетворяющей всем условиям подобия, надо придать этой модели скорость, вдвое меньшую, уменьшить вчетверо давление пара и сделать колеса из материала, для которого сопротивление качению было бы в четыре раза меньше.

Так как это последнее условие, если даже оно выполнимо, нельзя осуществить без нарушения первоначального условия, заключающегося в том, что модель и машина сделаны из одинаковых материалов, то становится ясным, что употребление уменьшенных моделей встречается с затруднениями, которые невозможно избежать вполне. Предыдущего достаточно, чтобы понять, с какими предосторожностями нужно обставлять опыты в уменьшенных масштабах, чтобы из них можно было получить строгие практические результаты.

Пример II. Допустим в виде второго примера, что мы желаем построить модель солнечной системы, подобную настоящей, сохраняя для постоянной всемирного тяготения такое же значение.

Взаимное притяжение двух частиц равно Если бы массы стали в раз меньше, а расстояние в X раз меньше, то притяжение стало бы меньше в раз. Тогда мы имели бы так как надо было бы умножить на — на X. Но так как, вообще, мы получили бы —

Если же предположить, что плотности остались прежними, т. е. что Солнце и планеты, будучи уменьшены в X раз, сохранили свою плотность, то мы нашли бы, что Отсюда т. е. время не изменилось бы ни для Солнца, ни для планет.