446. Задача.

Два одинаковых однородных тяжелых стержня и связанных концами А, шарнирно скользят без трения по горизонтальной плоскости (рис. 261). Найти движение системы (Лиценциатская).

Рис. 261.

Положение обоих стержней, соединенных вместе, зависит от четырех параметров. Мы определим положение стержней: 1° координатами , центра тяжести который находится на середине прямой соединяющей середины обоих стержней; 2° углом который образует прямая с осью полууглом а между обоими стержнями. Легко убедиться, что этих четырех параметров достаточно, чтобы вполне определить положение системы. Действительно, поместив где-нибудь центр тяжести проведем прямую положение которой известно по углу На этой прямой отложим , где — длина каждого из стержней. Отложив затем в точке А по ту или другую сторону от отрезка угол а, получим положения обоих стержней.

Найдем сначала выражение полной кинетической энергии. Она складывается из кинетической энергии

массы сосредоточенной в центре тяжести, где М — масса каждого из стержней, и из кинетической энергии относительного движения системы вокруг центра тяжести. Чтобы найти кинетическую энергию одного из стержней, например в его относительном движении относительно осей параллельных осям и проходящих через точку мы воспользуемся той же теоремой. Эта кинетическая энергия равна кинетической энергии массы М, помещенной в точке С, т. е. или

так как увеличенной на кинетическую энергию стержня в его вращательном движении вокруг точки С. Но эта последняя кинетическая энергия имеет выражение так как угол между стержнем и прямой равен .

Кинетическая энергия стержня в его движении вокруг получится, если заменить угол а углом — а. Складывая, найдем для полной кинетической энергии выражение

В рассматриваемом случае единственными заданными силами являются силы тяжести, работа которых равна нулю. Следовательно, силовая

функция есть и правые части уравнений Лагранжа равны нулю. Если мы напишем уравнение для координаты , то получим откуда Точно так же из уравнения для имеем Следовательно, движение центра тяжести является прямолинейным и равномерным, что непосредственно вытекает и из теоремы о движении центра, тяжести. Уравнение для

приводится к виду так как Т и не содержат . Непосредственно интегрируя, получим или

Мы могли бы написать также и уравнение для а, но оно будет очень сложным. Мы заменим его интегралом энергии, который здесь имеет вид т. е.

поскольку постоянны. Мы можем написать в правой части существенно положительную постоянную, так как левая часть является суммой квадратов. Уравнение (I) показывает, что знак не меняется, так что прямая поворачивается вокруг все время в одном и том же направлении. Кроме того, угловая скорость этого движения заключена обязательно между Подставляя значение 0, найденное из уравнения (I), в уравнение (II), получим:

Так как левая часть все время положительна, то и правая часть должна быть положительной. Если отрицательно, то а может, очевидно, принимать какие угодно значения, и стержни в зависимости от того, будет ли а положительным или отрицательным, будут либо раздвигаться, либо сближаться до тех пор, пока не произойдет столкновение или Если положительно, то можно приравнять эту разность величине где — вещественная постоянная. В самом деле, всегда меньше, чем так как в начальный момент, когда величина а вещественна, и поэтому Таким образом, условие, которому должен удовлетворять угол , приводится к следующему:

так что а изменяется между и движение каждого стержня относительно будет теперь колебательным.

Если, наконец, то а может принимать любые значения, но когда а будет стремиться к к или к нулю, тогда будет стремиться к бесконечности; обе прямые будут стремиться совпасть, но никогда этого не достигнут.