386. Применение осей, движущихся в теле.

В предыдущем мы предполагали, что оси неизменно связаны с твердым телом. Представим себе, что мы относим движение тела к триэдру , вершина которого совпадает с неподвижной точкой О и который совершает в пространстве известное движение. Обозначим через мгновенную угловую скорость вращения этого триэдра и через — ее составляющие по подвижным осям . С другой стороны, пусть — мгновенная угловая скорость вращения твердого тела, а — ее составляющие по тем же осям. Так как триэдр не связан более с телом, то отлично от Придерживаясь того же пути, что и раньше, мы получим следующие результаты.

Абсолютная скорость точки тела. Пусть — абсолютная скорость точки тела, имеющей относительно осей координаты Эта скорость, являясь моментом вектора относительно точки имеет следующие проекции на три оси:

Кинетическая энергия тела. Кинетическая энергия Т определяется формулой

Полагая, как и выше,

по-прежнему получим

В этих формулах А, В, С обозначают моменты инерции тела относительно осей в момент времени — центробежные моменты относительно этих же осей. Так как триэдр , по предположению, движется как в пространстве, так и относительно тела, то эти шесть величин с течением времени изменяются.

Главный момент количеств движения. Главный момент количества движения всех точек тела относительно неподвижной точки О является вектором, проекции которого на оси имеют величину

Заменяя их выражениями, написанными выше, получим

Главный момент сил. Пусть — главный момент сил, приложенных к телу, относительно точки О. Мы обозначим через проекции этого вектора на оси т. е. суммы моментов сил относительно этих осей.

Уравнения движения. Нам нужно написать, что абсолютная скорость и точки а равна и параллельна вектору (рис. 225). Для этого мы напишем, что проекции абсолютной скорости и точки а на три оси равны проекциям на эти оси вектора

Так как точка а имеет в подвижных осях координаты то проекции на эти оси вектора ее относительной скорости по отношению к этим же осям равны

Так как система осей совершает мгновенное вращение с угловой скоростью имеющей компоненты то точка а имеет переносную скорость от движения этих осей, выражаемую вектором с проекциями на эти оси, равными

Проекции абсолютной скорости точки о равны суммам проекций ее относительной и переносной скоростей, и мы имеем поэтому уравнения движения:

В этих общих уравнениях проекции имеют значения, выраженные в равенствах (9). Необходимо отметить, что при вычислении производных нужно помнить, что коэффициенты в общем случае зависят от

Частные случаи. 1°. Трехгранник жестко связан с телом. В этом случае мгновенная угловая скорость вращения триэдра совпадает с мгновенной угловой скоростью вращения тела. Тогда

Кроме того, А, В, С, D, Е, F являются постоянными. Мы вновь получаем уравнения п. 383.

2°. Триэдр отсчета неподвижен в пространстве. Тогда угловая скорость вращения 2 равна нулю и тоже равны нулю.