VI. Системы неголономные

462. Формы уравнений связей в неголономных системах.

Мы уже говорили, что система называется неголономной, если некоторые из наложенных на нее связей не могут быть выражены в конечной форме, но выражаются аналитически дифференциальными соотношениями.

Такие случаи имеют место каждый раз, когда твердое тело должно вертеться на неподвижной поверхности и катиться по ней (например, обруч, велосипед). Действительно, положение совершенно свободного твердого тела зависит от шести координат, которыми являются,

например, три координаты центра тяжести и три угла Эйлера. Чтобы выразить, что тело вертится на неподвижной поверхности и катится по ней, надо написать, что скорость частицы, которая касается поверхности, равна нулю. Если обозначить через шесть координат, то это условие выразится соотношением вида

в котором коэффициенты суть функции координат но в котором левая часть не будет в общем случае полным дифференциалом и не имеет интегрирующего множителя.

Следовательно, связь, наложенная на тело, не может быть выражена в виде соотношения в конечной форме между координатами. Вследствие этого при приложении общих теорем аналитической механики возникают особые трудности, из которых наиболее существенной является невозможность применения уравнений Лагранжа, если при преобразовании выражения кинетической энергии Т приходится принимать в расчет такие связи.

Трудности, возникающие с этой точки зрения от такого рода связей, были отмечены и изучены К. Нейманом .

Первый пример. Рассмотрим однородную сферу радиуса а, катящуюся по неподвижной плоскости. Примем за неподвижные оси две оси в плоскости и ось О, перпендикулярную к плоскости и направленную в сторону, где находится сфера. Пусть — координаты центра сферы относительно этих осей Проведем через три оси параллельные и обозначим через составляющие мгновенной угловой скорости вращения сферы по этим осям. Выражая, что находящаяся в соприкосновении точка сферы имеет скорость, равную нулю, имеем

С другой стороны, если обозначить через углы Эйлера между осями связанными с телом, и осями то

по легко устанавливаемым формулам (п. 382) получим:

где через обозначены производные Тогда соотношения (1), выражающие, что действительное перемещение является качением, напишутся в виде

Точно так же возможные перемещения, допускаемые связями, характеризуются соотношениями:

Так как координата С постоянна, то положение системы зависит от пяти параметров связанных соотношениями (4), левые часта которых не являются полными дифференциалами и не могут быть проинтегрированы. Система имеет три степени свободы, так как остаются произвольными, а определяются соотношениями (4).

Второй пример. Обруч. Рассмотрим обруч радиуса а, который катится и вертится по неподвижной горизонтальной плоскости П, как в п. 411;

Выберем неподвижные оси в плоскости, а неподвижную ось направим вертикально вверх. Обозначим через координаты центра тяжести обруча относительно этих осей и через — углы Эйлера, как в п. 411, определяющие положение обруча относительно осей параллельных неподвижным осям Проекции скорости V центра тяжести на неподвижные оси а также и на параллельные им оси равны

С другой стороны, точка касания Н обруча с плоскостью П (рис. 244) имеет относительно осей координаты

Для того чтобы выразить, что обруч катится и вертится по плоскости П, нужно написать, что скорость материальной точки, находящейся в Н, равна нулю. Обозначим через составляющие по осям мгновенной угловой скорости обруча и заметим.

что скорость материальной точки, находящейся в Н, есть результирующая скорости, вызванной переносным движением осей и скорости, вызванной вращением вокруг точки с угловой скоростью Следовательно, выразив, что три проекции скорости материальной точки Н равны нулю, имеем:

На основании написанных выше выражений (2) для и значений (5) для мы видим, что предыдущие условия (6) после очевидных преобразований приводятся к виду

Эти соотношения выражают, что действительное перемещение является качением.

Точно так же, выражая, что возможные перемещения, допускаемые связями, суть качения обруча по плоскости, мы получим для дифференциалов определяющих эти перемещения, уравнения:

Последнее из соотношений (7) или (8) эквивалентно конечному соотношению

которое очевидно и геометрически, если вычислить расстояние С от точки О до плоскости П. Но два первых соотношения (8) не могут быть проинтегрированы и написаны в конечной форме. Мы видим, следовательно, что рассматриваемая система не будет голономной. Эта система имеет три степени свободы, так как наиболее общее возможное перемещение, допускаемое связями, получится, если задать перемещениям произвольные значения; после этого определятся из соотношений (8).