364. Машина Атвуда.

На каждое из двух колес однородного ворота, вращающегося вокруг горизонтальной оси, намотана в противоположных направлениях невесомая гибкая нить. Нити несут грузы, массы которых (рис. 204). Исследовать движение этой системы.

Заданные силы суть веса грузов и ворота. Реакциями связей являются натяжения Т и -Т нити и натяжения Т и -Т нити . Кроме того, имеются реакции оси.

Будем считать положительным вращение от направленной вертикально вниз оси к оси и обозначим через угловую скорость, через х их — расстояния и через и — радиусы .

Система имеет полные связи, так как ее положение зависит только от угла поворота ворота. Предполагается, кроме того, что трение отсутствует. Поэтому уравнение движения может быть получено из теоремы кинетической энергии в форме, указанной в п. 343.

Кинетическая энергия системы состоит из кинетической энергии ворота и кинетических энергии точек . С другой стороны, работы весов обеих точек равны и

работа веса ворота равна нулю, так как его центр тяжести неподвижен. Сумма работ реакций связей равна нулю. Следовательно, имеем:

Но скорости точек тит. равны соответственно скоростям точек А и А ворота; следовательно,

Подставляя эти значения производных в предыдущее равенство, получим хравнение движения.

Это же уравнение можно получить, применяя теорему моментов количеств движения относительно оси ворота. Сумма моментов сил приводится к сумме моментов

весов моменты всех остальных сил равны нулю.

С другой стороны, сумма моментов количеств движения точек ворота равна а точек равна

Таким образом, имеем уравнение

которое после замены через приводится к виду

откуда получается для постоянное значение

Ускорения точек будут, следовательно, постоянными, и движения этих точек будут равнопеременными. При этом сразу видно, что эти ускорения будут меньше чем

Для вычисления натяжения Т нити напишем уравнение движения точки

из которого получаем:

Точно так же находим:

Найдем, наконец, реакции оси ворота. Можно допустить вследствие симметрии, что реакции оси приводятся к одной силе приложенной в точке О и нормальной к оси. Применим к вороту теорему движения центра тяжести. Так как эта точка остается неподвижной, то необходимо, чтобы приложенные к вороту внешние силы , перенесенные в точку О, находились в равновесии. Отсюда следует, что реакция опоры на ось вертикальна, направлена кверху и имеет значение

т. е.

Эта реакция всегда меньше суммы трех весов и может ей равняться не иначе, как при выполнении условия

при котором движение будет равномерным, так как в этом случае .

Заметим, что в рассматриваемой задаче ворот вращается вокруг главной центральной оси инерции. Отсюда следует, как мы это видели раньше, что реакция опоры определяется из формул, которые получаются, если пренебречь парой с вектором моментов, параллельным оси вращения, что сразу позволяет найти значение