498. Приложение к каноническим уравнениям.

Теория множителя находит в уравнениях динамики одно из своих главных приложений.

В самом деле, возьмем канонические уравнения

которые соответствуют задачам динамики в случае существования силовой функции или более общим, так называемым вариационным задачам вроде тех, которые были разобраны в первом томе. Н обозначает функцию от Если мы составим величину , то убедимся, что равна нулю. В самом деле,

Следовательно, есть множитель.

Таким образом, канонические уравнения (20) предоставляют широкое поле для приложений теории множителя.

Если силовая функция не существует, но силы не зависят от скоростей, то результат будет тот же. В самом деле, в этом случае каноническая система примет вид

где суть функции от Убеждаемся, что в этом случае по-прежнему и что есть множитель.

Для того чтобы можно было считать интегрирование законченным, потребуется интегралов; но вследствие существования множителя достаточно знать интегралов, чтобы задача могла быть приведена к одной квадратуре.

Другие возможности упрощения. Могут представиться другие возможности упрощения. Например, если кинетическая энергия и силы не зависят явно от времени, то в уравнениях (20) или (21) можно отбросить последнее уравнение, которое содержит дифференциал времени. Система оставшихся уравнений имеет множитель Следовательно, если будут известны интегралов, то конечное уравнение получится при помощи квадратуры. Что касается времени, то, после того как переменные будут выражены в функции одной из них и произвольных постоянных интегрирования, мы получим зависимость между независимой переменной и временем при помощи квадратуры из уравнения

Если существует силовая функция, не зависящая от времени, то известен один из интегралов, которые нужно найти. Поэтому в этом случае достаточно знать интегралов кроме интегралов энергии, чтобы иметь возможность довести задачу до конца. Если, например, , то достаточно знать, кроме интеграла энергии, еще один интеграл.

Так, для случая центральных сил этим интегралом, который при определении возможности полного интегрирования задачи является в некотором смысле решающим, служит интеграл площадей.

Но имеется еще один источник для упрощений, важность которого хорошо освещена Якоби.

Допустим, что одна из переменных, например не входит явно в . Тогда

и в силу уравнении (20)

Отсюда прежде всего получается интеграл Кроме того, так как входит в уравнения только под знаком дифференциала, то можно отбросить уравнение

и ограничиться уравнениями:

число которых равно и для которых является множителем; в этих уравнениях представляет произвольную постоянную. Достаточно знать интегралов, чтобы привести интегрирование этих уравнений к одной квадратуре; но так как Н является интегралом, то мы видим, что достаточно знать интегралов, отличных от интегралов энергии и от интеграла чтобы интегрирование системы (24) было возможно. После того как эта система будет проинтегрирована, мы получим из уравнения (23) при помощи квадратуры соотношение между параметром и остальными переменными и, наконец, из уравнения (22) мы получим последнюю квадратуру, устанавливающую соотношение между геометрическими величинами и временем.

Итак, в этом случае знание интегралов, не считая интеграла энергии и интеграла позволяет выполнить интегрирование задачи.

Этот результат непосредственно имеет место для всех случаев движения твердого тела, уравнения которых удалось до сих пор проинтегрировать.

Рассмотрим, например, движение твердого тела вокруг неподвижной точки, когда существует не зависящая от времени силовая функция. Положение тела зависит от трех углов Эйлера (см. в этом томе п. 381 и следующие за ним); здесь кинетическая энергия не содержит явно и если силовая функция также не содержит этого угла, то мы имеем дело с только что разобранным случаем. Тогда будет играть роль переменной и интеграл будет зависеть от производной Так как здесь то достаточно знать, кроме интеграла и интеграла энергии, еще один интеграл, чтобы задача стала вполне интегрируемой.

Таким будет случай тяжелого тела вращения, подвешенного в какой-нибудь точке своей оси.

Точно так же Ковалевская, именно благодаря тому, что ей удалось найти условия существования нового интеграла, сумела разрешить новый случай задачи движения тяжелого тела вокруг неподвижной точки.

Этим объясняется, что во всех вопросах такого рода все усилия направляются на разыскание нового интеграла. Это разыскание бывает часто непрямым, в том смысле, что пытаются заранее наложить определенное условие на интеграл, как, например, быть алгебраическим или однозначным, и стараются подобрать таким частным образом данные задачи, чтобы осуществить условия существования такого рода интеграла. Этот метод бывает иногда успешным, в чем убеждает нас случай Ковалевской.