351. Теорема кинетической энергии в относительном движении вокруг центра тяжести.
Теорема кинетической энергии установлена нами для абсолютного движения системы. Она остается справедливой и для движения по отношению к осям, которые совершают прямолинейное равномерное движение. Но ее нельзя без изменения применять к движению относительно осей, совершающих произвольное
движение. Однако всегда существует специальная система подвижных осей, по отношению к которым теорема сохраняется без всякого изменения формулировки. Это — оси постоянного направления, проведенные через центр тяжести. Справедлива таким образом следующая теорема:
Так же как и теорема моментов количеств движения, теорема кинетической энергии применима к относительному движению системы по отношению к осям постоянного направления, проходящим через центр тяжести.
Мы докажем эту теорему при помощи совместного применения уравнений движения центра тяжести и уравнения кинетической энергии в абсолютном движении. Поэтому уравнение, которое получится, будет следствием общих уравнений, установленных в разделах I и II.
Уравнение кинетической энергии в абсолютном движении имеет
Сделаем в нем преобразование координат
Мы видели, что если обозначить через V скорость центра тяжести О, а через 
относительную скорость частицы 
по отношению к осям 
то по теореме Кёнига (п. 349),
С другой стороны,
Следовательно, уравнение (5) принимает вид
Но суммы 
равны нулю в силу закона равенства действия и противодействия. Далее, имеем:
Это уравнение получается, если из уравнений движения центра тяжести вывести теорему кинетической энергии. Следовательно, после приведений получаем:
Это уравнение составлено из относительных скоростей и перемещений совершенно так же, как уравнение кинетической энергии составлено из скоростей и перемещений абсолютных. Таким образом, теорема доказана.
Замечание о работах внешних сил. Сумма элементарных работ внутренних сил зависит только от изменений взаимных расстояний между точками и будет одинаковой в обоих уравнениях. Но сумма работ внешних сил не будет одинаковой в обоих уравнениях.
Это вытекает из предыдущих вычислений. В самом деле, мы нашли, что
а это и показывает, что суммы элементарных работ внутренних сил одинаковы как для абсолютных перемещений, так и для перемещений относительно рассматриваемых осей. В то же время мы получили соотношение
которое показывает, что суммы работ внешних сил не будут одинаковыми для этих двух видов перемещений. Так, если некоторые тела системы связаны без трения с неподвижными телами, то соответствующие реакции связей будут для системы внешними. Элементарная работа этих сил равна нулю, как это было установлено при выводе принципа возможных перемещений. Этого не будет в общем случае для относительных перемещений по отношению к осям Охуг (см. пример III, который будет рассматриваться в п. 354).
Доказательство, основанное на теории относительного движения. В главе XXII будет дано простое доказательство теоремы, основанное на теории относительного движения.
