373. Регулятор с лопатками.

Рассмотрим ворот массы М и радиуса вращающийся вокруг горизонтальной оси при помощи двух цапф радиуса На ворот навернута веревка, массой которой пренебрегаем и которая свешивается вертикально, так как к ее концу привязан груз массы т. На поверхности ворота смонтированы одинаковые плоские лопатки, плоскости которых проходят через ось ворота. Эти лопатки попарно диаметрально противоположны, так что общее их число четно. Когда ворот вращается, лопатки ударяют о воздух. Вследствие этого на каждой лопатке возникает нормальное давление, направленное в сторону, противоположную вращению. Так как все лопатки одинаковы и попарно диаметрально противоположны, то все эти давления равны, попарно прямо противоположны и приводятся к одной паре, вектор момента которой параллелен оси ворота. Вычислим сумму моментов этих давлений относительно оси. Допускается, что давление воздуха на элемент поверхности пропорционально площади этого элемента и квадрату его скорости. Если через обозначить расстояние от элемента лопатки до оси, а через — угловую скорость ворота, то получим

Момент этого элементарного давления относительно оси

а результирующий момент для одной лопатки будет

где — некоторая постоянная. Результирующий момент всех лопаток равен -кратному значению этой величины.

На ворот действуют его вес приложенный на оси, натяжение Т веревки, несущей груз, давления на лопатки и, наконец, касательные и нормальные реакции подшипников на цапфы. Мы можем перенести на ось силу Т параллельно самой себе, оставляя ее в плоскости, нормальной к оси, присоединив при этом пару с моментом возникающую от этого переноса. Эта пара увеличивает угловую скорость . В результате имеем вертикальную силу

приложенную к оси, пару с моментом

и реакции подшипников.

На основании формулы предыдущего пункта, обозначив через угол трения в подшипниках, получаем уравнение движения

С другой стороны, скорость груза подвешенного к веревке, равна и уравнение движения этого тела, подверженного действию его веса и натяжения Т, будет:

Исключая из этих двух уравнений Т, получаем уравнение движения в форме

где

— постоянные.

Первая постоянная X существенно положительна, так как Вторая постоянная а может быть положительной, отрицательной или равной нулю.

1°. Допустим, что ворот предоставлен самому себе без начальной скорости. Тогда производная будет вначале положительной и угловая скорость будет постоянно возрастать до тех пор, пока она не станет равной . Когда а стремится к тогда

неограниченно возрастает. Следовательно, угловая скорость будет возрастать и стремиться к V а [рассуждения такие же, как и при падении тяжелого тела в сопротивляющейся среде (п. 213)].

2°. Полагая по-прежнему, что начальное значение равно нулю, получим Следовательно, согласно уравнению ворот стремится вращаться в сторону, противоположную той, в которую его тянет вес Это — абсурд. В этом случае вес недостаточен чтобы преодолеть трение в начале движения, и ворот остается в равновесии. Уравнения, полученные в предположении движения, неприменимы. Полное исследование случая, когда аналогично исследованию восходящего движения груза в сопротивляющейся среде.

Случай не может иметь места, когда отсутствует трение. Действительно, если то а положительно.