391. Краткие указания к вычислению девяти косинусов в функции времени.

Выражения девяти косинусов, данные Якоби (Journal de Crelle, т. 39) могут быть вычислены следующим, непосредственно представляющимся, элементарным путем, лишь незначительно отличающимся от пути, которому следовал Сомов (Journal de Crelle, т. 42). Мы уже получили в функции

времени с помощью формул (20). Теперь вычислим Мы нашли

Положим, как и выше, заменим в выражении параметры и их значениями (19) и через . Получим

что можно также, выполнив деление, написать в виде

Чтобы узнать полюсы двоякопериодической функции, стоящей в правой части, определим постоянный аргумент удовлетворяющий соотношению

Так как , то значение будет чисто мнимым; следовательно, для аргумента можно взять чисто мнимое значение и поэтому для с — значение вещественное. Тогда мы можем написать:

Из равенства (25) на основании элементарных соотношений, связывающих функции одного и того же аргумента, получаем:

Извлекая квадратные корни и принимая во внимание значение найдем

Перед правой частью надо было бы взять два знака, но так как можно изменить знак без изменения предшествующих соотношений, то перед правой частью можно всегда брать знак Тогда уравнение, определяющее , напишется так:

Это выражение легко теперь проинтегрировать. В самом деле, каковы бы ни были аргументы и и существует тождество [см., например, Врио и Буке (Вгiоtet Bouquet, Fonctions elliptiques, стр. 494)]

из которого, если взять логарифмические производные по и, получается

Полагая и обозначая через X вещественную постоянную имеем

Интегрируя и предполагая оси выбранными таким образом, чтобы угол обращался в нуль вместе с наконец, найдем

Таким образом, три угла выражены в функции времени и теперь можно определить положение тела в произвольный момент. Синусы и косинусы этих трех углов выражаются функциями времени, которые либо однозначны, либо являются квадратными корнями от однозначных функций. Но замечательно, что девять косинусов являются однозначными функциями времени. Этот результат, принадлежащий Якоби, может быть установлен следующим образом. Из формул (20) получаются уже как однозначные функции времени. Из них выводим

или, заменяя и их значениями,

Введя аргумент определенный соотношением (25), принимая затем во внимание тождество (27), в котором следует положить мы найдем для выражение вида

где — некоторая постоянная, значение которой нет надобности выписывать. Мы видим, таким образом, что является квадратным корнем от однозначной функции. Вычисляя по формуле (28), найдем, что эти функции зависят от той же иррациональности, что и . Эта иррациональность исчезает в дальнейшем из комбинаций, дающих Можно придти к тому же выводу, вычисляя непосредственно как функцию времени величину

Дифференцируя, получаем

Заменяя его значением (21), и заменяя значениями, которые можно вывести из равенства получим для эллиптическую функцию переменного из которой при помощи квадратуры определим в виде однозначной функции времени.

Если мы захотим сравнить предыдущие вычисления с вычислениями Сомова (Journal Crelle, т. 42), то достаточно будет заметить, что аргумент, обозначенный Якоби и Сомовым через 1а, связан с соотношением

Рамки этой книги не позволяют нам излагать подробнее эти вычисления. Мы отсылаем за подробностями к работе Эрмита «Sur quelques applications des fonctions elliptiques» (К некоторым приложениям эллиптических функций), в которой изложены два различных метода для непосредственного вычисления девяти косинусов и сделаны ссылки на работы Брилля (Brill), Челини (Chelini), Сиачи (Siacci) и на сочинение Гальфена (Тraite de Halphen, т. II).

Когда (п. 389, 3°), тогда модуль равен 1 и углы а также девять косинусов выражаются элементарными функциями. В этом случае на основании соотношений (24) функция обратится в или в — и функции обратятся в — или в Вводя чисто мнимый аргумент определенный соотношением (25), т. е.

мы представим формулу (26) в виде

Из последнего равенства после интегрирования получаем

где X обозначает постоянную

Отсюда выводятся выражения девяти косинусов.

Когда модуль равен нулю и приводится к Для этого случая выражения были даны раньше.