450. Малые колебания.

Рассмотрим, как и выше, систему с не зависящими от времени связями, положение которой Зависит геометрических параметров Допустим, что приложенные силы имеют силовую функцию зависящую от всех переменных и что эта функция равна нулю и имеет максимум, когда все переменные обращаются в нуль.

Соответствующее положение равновесия будет устойчиво. Мы ставим себе задачей изучить малые движения системы около этого положения. В этих малых движениях величины а также и скорости остаются очень малыми. Следовательно, остаются очень малыми и производные такак кинетическая энергия является существенно положительной однородной функцией второй степени относительно производных Мы начнем с простейшего случая, когда система имеет полные связи.

1°. Система с полными связями. Положение системы в разбираемом случае зависит от одного параметра который, по предположению, равен нулю в положении равновесия. Число к равно 1. Кинетическая энергия Т, будучи однородной функцией второй степени переменной имеет вид

где предположено, что функция раскладывается в ряд Маклорена. Допустим, что первый член разложения не равен нулю. Тогда этот первый член будет обязательно положительным, так как при очень малом кинетическая энергия Т, которая существенно положительна, имеет знак первого члена Полагая напишем:

где очень мало по сравнению с первым членом, так как оно содержит множителем

Рассмотрим теперь силовую функцию По предположению, это — функция от обращающаяся в нуль и имеющая максимум

при . Если, следовательно, положить и если разложить в ряд Маклорена, то будут равны нулю, а , в общем случае, будет отрицательно. Полагая можем написать

где — сумма последующих членов в разложении Маклорена. Следовательно, очень мало по сравнению с членом так как оно содержит множителем

Для изучения малых колебаний можно пренебречь величинами и их и принять

Тогда уравнение движения по Лагранжу

так как равно нулю, обратится в следующее:

где положено Интеграл этого уравнения будет

где обозначают две произвольные постоянные, определяемые начальным положением, т. е. величиной и начальной скоростью Период колебания системы равен Постоянная имеющая определенный физический смысл, не будет, очевидно, зависеть от выбора параметра

Если начальные значения при суть то

Если в другом случае начальные значения будут то для того же движения имеем:

Если, наконец, в третьем случае начальные значения и будут равны и то соответствующее выражение для будет

будет суммой двух предыдущих. Это свойство, являющееся следствием линейности уравнения движения, составляет то, что называют наложением малых колебаний.

Пример. В двух неподвижных точках (рис. 262), лежащих на горизонтальной оси на одинаковых расстояниях а от начала О, привязаны две невесомые нити и одинаковой длины несущие однородный тяжелый стержень длины , равной Этот стержень имеет в середине бесконечно малое отверстие, через которое проходит ось направленная вертикально вверх. Система слегка отклоняется от своего положения равновесия и предоставляется самой себе без начальной скорости. Исследуем малые колебания.

Обозначим через угол, образуемый в произвольный момент нитью с осью , а через — угол между осью и проекцией стержня на плоскость Равнобедренный треугольник и прямоугольный треугольник дают соотношение

Рис. 262.

Положение системы зависит от единственного параметра равного нулю в положении равновесия. Так как единственной заданной силой является вес, то, обозначая через С координату центра тяжести получим:

где постоянная определена таким образом, чтобы обращалось в нуль при Очевидно, что при этом значении функция имеет максимум. Разложим по формуле Маклорена:

Порядок функции относительно больше двух. Вычислим Т по теореме Кёнига. Так как момент инерции однородного стержня длины относительно центра равен то

Из написанного выше геометрического соотношения определим угол а:

Дифференцируя, найдем а, после чего получим

Для колебаний конечных уравнение движения можно найти по теореме кинетической энергии . Но для бесконечно малых колебаний мы

можем коэффициент при в полученном выражении для Т приравнять его значению при и приближенно принять

Тогда уравнение движения на основании уравнения Лагранжа будет

Период малых колебаний равен

Примечание. Выше мы предполагали, что если Т имеет вид то не равно нулю. Если это условие не выполняется, то его можно осуществить преобразованием переменной. Допустим, в самом деле, что при малых значениях будет

где не равно нулю. Сделаем тогда подстановку

где — новая переменная. Имеем:

и коэффициент при уже не обращается в нуль при

Мы предполагали также, что если коэффициент при в выражении, полученном для Т, не обращается в нуль при то разложение по формуле Маклорена начинается с члена Но может случиться, что если имеет максимум при то обращаются в нуль все производные от до какого-нибудь нечетного порядка, выше первого, и первая неравная нулю производная будет четного порядка и отрицательная. Например, в простейшем случае так может получиться, когда

где содержит множителем а коэффициент а положительный. Тогда, приводя Т к виду и пренебрегая членом получим уравнение - движения в виде

В этом случае имеет место особое обстоятельство, которое не зависит от выбора переменной: период малых колебаний около положения равновесия изменяется вместе с амплитудой. В самом деле, поместим систему в положение, соответствующее и предоставим ее. самой, себе без начальной скорости. Интегрируя равенство (2), получим

откуда определим в функции через эллиптическую квадратуру. Величина колеблется между и продолжительность четверти

периода колебания равна

где положено Следовательно, этот период обратно пропорционален и становится бесконечно большим, когда стремится к нулю.

2°. Система с двумя степенями свободы. Представим себе систему с не зависящими от времени связями, положение которой определяется двумя параметрами: Имеем:

где А, В, С — функции от

Мы будем предполагать, что параметры выбраны таким образом, что дискриминант не обращается в нуль при Тогда, разлагая коэффициенты А, В, С в ряд Маклорена и обозначая через с значения этих коэффициентов при получим:

где есть величина третьего порядка относительно причем она обращается в нуль при Следовательно, при очень малых, Т имеет знак трехчлена, стоящего перед и так как Т существенно положительно, каковы бы ни были то

Рассмотрим теперь силовую функцию При эта функция обращается в нуль и имеет максимум; поэтому, разлагая ее в ряд Маклорена, получим:

где есть величина третьего порядка относительно Так как должно быть отрицательно при любых достаточно малых значениях то

Чтобы получить малые колебания около положения равновесия, мы пренебрежем функциями приняв

Тогда оба уравнения Лагранжа обратятся в линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Для интегрирования этих уравнений положим

где — постоянные. Подставляя эти значения в равенства (3) и сокращая на получим

Отсюда, исключая получим биквадратное уравнение

имеющее для два вещественных и положительных значения, так как левая часть равенства положительна при равном и отрицательна, когда равняется и Можно всегда считать положительным, так как решение (4) не изменяется при изменении знаков Мы можем поэтому взять для два положительных корня уравнения (6).

Если в уравнениях (5) заменить одним из этих корней, то они приведутся к одному уравнению, например, к первому. Тогда, полагая получим:

где — произвольная постоянная. Таким образом получается решение

Второй корень дает аналогичное решение с другими постоянными и мы получаем окончательно общие интегралы уравнений движения:

содержащие четыре произвольные постоянные которые определятся, если будут известны начальные значения параметров и их производных

Мы видим, таким образом, что движение около положения равновесия есть результирующее движение двух колебаний, периоды

которых равны соответственно Если эти периоды соизмеримы между собой, то движение будет периодическим. В противном случае система никогда не пройдет вторично через то же положение. Мы уже видели подобный пример, в п. 272.

Величины имея, таким образом, определенный физический смысл, не зависят, очевидно, от выбора параметров Они являются инвариантами задачи.

Частный случай. Когда мы доказывали, что уравнение (6) относительно имеет два положительных корня, мы допускали, что, подставляя в левую часть уравнения , мы получаем для нее, по крайней мере, один раз отрицательное значение. Это не будет иметь места, если

где положительная постоянная. Тогда уравнение (6) будет

и у него будут два равных между собой корня. Тем не менее общий интеграл не будет содержать вне знаков синуса и косинуса. В самом деле, при рассматриваемых условиях уравнения движения (3) принимают вид

и так как положительно, то эти уравнения приводятся к следующим:

Отсюда для общего интеграла получаем:

Теперь имеется только один период — для любого колебания.

Другой метод. Эти результаты могут быть получены другим путем, если воспользоваться свойствами квадратичных форм. Рассмотрим две квадратичные формы

при помощи которых уравнения движения можно написать в таком виде:

Сделаем линейную подстановку

где - новые параметры, и постоянные.

Можно определить коэффициенты подстановки таким образом, чтобы привести одновременно обе формы к суммам квадратов. Если рассматривать как декартовы координаты, то это все равно, что принять в качестве осей прямые, одновременно сопряженные с парами прямых . Таким путем получается

Кинетическая энергия обращается теперь в и уравнения движения принимают вид

откуда, интегрируя, находим:

Можно заметить, что биквадратное уравнение для получается, если приравнять нулю дискриминант формы

Переменные называются главными переменными

Приложение. Рассмотрим однородный тяжелый стержень длины , подвешенный с помощью нити длины к неподвижной точке О (рис. 263). Система перемещается в вертикальной плоскости

Требуется найти бесконечно малые колебания около вертикали, которая является положением равновесия.

Рис. 263

Положение системы зависит от двух углов которые образует вертикаль с направлениями нити и стержня. Эти параметры действительно обращаются в нуль в положении равновесия. Здесь существует силовая функция

где — абсцисса центра тяжести

Постоянной С, согласно предыдущей теории, нужно распорядиться таким образом, чтобы обращалось в нуль в положении равновесия. Так как координатами центра тяжести являются

то силовая функция будет

Вычислим теперь кинетическую энергию Т. Кинетическая энергия массы М, сосредоточенной в центре тяжести равна

Зная выражение момента инерции однородного стержня относительно его центра, получаем для кинетической энергии во вращательном движении

вокруг центра тяжести значение Теперь полная кинетическая энергия будет

Для нахождения бесконечно малых колебаний достаточно взять в выражениях для и Т только члены второго порядка:

Тогда уравнения Лагранжа будут

Для интегрирования этих уравнений полагаем

Постоянные должны удовлетворять условиям

и, следовательно, для получается уравнение

Это квадратное уравнение относительно имеет вещественных положительных корня, каждому из которых отвечает система частных решений. Складывая эти решения, получим общие интегралы

содержащие четыре постоянные

Например, если положить то для получатся значения откуда непосредственно получаются периоды обоих колебаний, из которых складываются малые движения.

Примечание. В предыдущей теории мы предполагали, что не равно нулю. Если же этот дискриминант равен нулю, то надо выбрать параметры иначе, а именно так, чтобы новое приближенное выражение энергии Т имело дискриминант, не равный нулю. Например, если взять точку, движущуюся на плоскости и имеющую в начале координат положение устойчивого равновесия, то в полярных координатах и 0 получим для Т выражение

дискриминант которого обращается в нуль в положении равновесия. Взяв декартовы координаты, получим новое выражение

дискриминант которого не равен нулю.

Мы предполагали также, что разложение силовой функции начинается с членов второго порядка относительно . Может случиться, что разложение функции начинается с членов четного порядка (так как является максимумом), но более высокого, например четвертого, так что

В этом случае изучение малых колебаний будет сложнее, так как уравнения, которые получатся, если пренебречь членом их, не будут больше линейными. Общее движение не будет больше результирующим двух особых колебаний, каждое из которых имеет определенный период.

3°. Общий случай. Рассмотрим систему, подчиненную не зависящим от времени связям и находящуюся под действием сил, имеющих силовую функцию Будем предполагать, что существует такое положение устойчивого равновесия системы, для которого функция обращается в максимум. Пусть — параметры, определяющие положение системы. Мы допустим, что они, так же как и равны нулю в положении равновесия. Так как положение равновесия устойчиво, то если систему отклонить от положения равновесия и предоставить самой себе, то в течение всего времени движения параметры и их производные останутся весьма малыми. Мы будем рассматривать все эти величины как малые величины первого порядка. Полная кинетическая энергия является квадратичной однородной функцией от всех

Каждый из коэффициентов является функцией параметров обращающейся в когда все эти параметры равны нулю. Следовательно, можно написать:

где есть сумма малых величин, порядка выше второго.

С другой стороны, мы знаем, что нуль является максимумом функции Мы можем поэтому написать

где имеет порядок выше второго. Заметим, что так как знак выражений Т и определяется знаком членов наинизшего порядка, то суммы, составляющие члены второго порядка, должны оставаться

постоянно положительными в выражениях как для Т, так и для (знак выражения вынесен за скобку).

Наше приближение заключается в отбрасывании членов Уравнения Лагранжа

принимают тогда вид

Полученные нами совместных дифференциальных уравнений являются линейными уравнениями второго порядка с постоянными коэффициентами. Мы можем проинтегрировать их, положив

Эти значения будут удовлетворять уравнениям Лагранжа, если будут выполняться равенства

Для того чтобы не все X равнялись нулю, необходимо, чтобы определитель этих линейных однородных уравнений равнялся нулю:

Это равенство, рассматриваемое как уравнение относительно определяет в общем случае для этой неизвестной к значений, а для неизвестной определяет попарно равных и противоположных по знаку значений. Но можно всегда считать положительным, так как решение (8) не изменяется, когда меняют знаки. Положив равным одному из этих значений, например можно будет определить все X в функции одной произвольной постоянной и получить систему решений (8), содержащую кроме еще произвольную постоянную Таким путем получится систем частных решений дифференциальных уравнений, а их сумма есть общее решение, которое содержит, как и должно быть, произвольных постоянных.

Таким образом, общее колебание является результирующим движением частных колебаний, имеющих соответственно периоды Корни являются инвариантами: их значения не зависят от выбора параметров.

Уравнения являются линейными. Поэтому, если имеются две системы частных решений то функции

будут также решением. Получается, таким образом, то, что называют наложением малых колебаний.

Не ссылаясь на теорию квадратичных форм, можно доказать, что корни уравнения для вещественны. В самом деле, если бы уравнение допускало мнимый корень то оно допускало бы и сопряженный корень Соответствующие значения были бы также комплексно сопряженными. Тогда для параметров была бы найдена система частных вещественных решений вида

или, в вещественной форме,

Таким образом, существовало бы движение системы, в котором величины и их производные, будучи сколь угодно малыми в начальный момент, становились бы с течением времени сколь угодно большими, что противоречит условию устойчивости равновесия.

Из аналогичных рассуждений видно, что если уравнение для имеет кратные корни, то время не может содержаться вне знаков синуса и косинуса, так как выражение вида

становится бесконечно большим вместе с

К тем же результатам приводит и теория квадратичных форм. Если положить

то при любых значениях переменных форма будет существенно положительной, а форма существенно отрицательной и обе эти формы могут обратиться в нуль только при равенстве нулю всех переменных. Уравнения малых колебаний могут быть записаны в виде

и уравнение (9), определяющее получится, если приравнять нулю дискриминант формы Всегда можно при помощи линейной подстановки с постоянными коэффициентами, преобразующей старые переменные в новые переменные привести обе квадратичные формы к суммам квадратов:

Тогда кинетическая энергия будет

Уравнения малых колебаний обратятся в следующие:

Отсюда

Таким образом, мы непосредственно получаем уравнения малых колебаний в конечной форме с произвольными постоянными Переменные которые нужно выбрать для приведения Т и к суммам квадратов, называются, как указывалось выше, главными координатами.

Заканчивая, укажем на три заметки Бета (Beth), помещенные в Comptes rendus de l’Acadlmie royale des Sciences d’Amsterdam, и на статью Хорна (Horn) в Journal de Crelie, т. 131, стр. 224.

Примечание. Мы предполагали, что определитель величин являющийся дискриминантом формы отличен от нуля. В противном случае нужно будет сделать другой выбор системы параметров. Мы предполагали также, что разложение по степеням начинается с членов второго порядка. Если это разложение начинается с членов более высокого порядка, например четвертого или шестого, то уравнения малых колебаний не будут линейными.