333. Примеры.

1°. Концы материальной однородной прямой (рис. 186) массы от и длины 2а могут скользить без трения по горизонтальной окружности радиуса Насекомое той же массы помещено в середине прямой, предполагаемой неподвижной. В момент насекомое начинает двигаться вдоль прямой от С к В, пробегая в равные промежутки времени равные отрезки этой прямой. Найти движение системы и вычислить угол, на который повернется прямая от своего исходного положения, когда насекомое достигнет конца В.

[Обозначить через угол, который образует с неподвижной осью радиус-вектор, соединяющий середину С прямой с центром О, через — расстояние от насекомого М до точки С, причем (v — постоянная)] (Лиценциатская, июль 1891).

Рис. 186.

Внешние силы, приложенные к системе, образованной прямой и насекомым, суть: 1° вес; 2° нормальные реакции окружности на концы А и В прямой. Моменты всех этих сил относительно вертикали равны нулю, так как силы веса параллельны оси а нормальные реакции лежат в плоскостях. нормальных к окружности в точках А и В и, следовательно, содержащих Сумма моментов количеств движения относительно является поэтому постоянной и поскольку она была вначале равна нулю, так как прямая и насекомое были неподвижны, то она останется равной нулю постоянно. Вычислим эту сумму, которая состоит:

а) из суммы моментов количеств движения всех точек прямой относительно так как эта прямая является твердым телом, вращающимся вокруг с угловой скоростью то эта сумма равна где — момент инерции прямой относительно

б) из момента количества движения насекомого М; так как полярные координаты насекомого М суть то этот момент равен Имеем, следовательно,

Но из прямоугольного треугольника непосредственно находим:

Подставляя в предыдущее уравнение, после приведения получим:

где - значение в момент Остальные уравнения, написанные выше, определяют и а в функции Когда насекомое достигает точки В, имеем откуда находим искомое значение

Определим значение Если через обозначить линейную плотность (массу единицы длины) и через расстояние от элемента до центра, то момент инерции прямой относительно ее центра тяжести С равен величине

Момент инерции относительно оси или относительно точки О равен (п. 317)

Следовательно,

Если в какой-нибудь момент времени насекомое остановится на прямой, то и вся система остановится, так как в противном случае сумма моментов количеств движения не будет равна нулю.

2°. Листок бумаги положен на совершенно гладкую горизонтальную плоскость, по которой он может скользить без трения. Одна точка О этого листка неподвижна, так что листок может только вращаться вокруг точки О, оставаясь на плоскости. Так, например, получится, если листок приколот в точке О булавкой к горизонтальной плоскости. На листке начерчена окружность радиуса а, проходящая через О (рис. 187, I и II).

Бумага была вначале в покое и на нее, в точке А, диаметрально противоположной точке О окружности было положено без начальной скорости насекомое.

Рис. 187.

В момент насекомое начало двигаться по окружности с постоянной относительно бумаги скоростью V. Найти движение системы (Rоuth (Раус), Rigid dynamics).

Выберем в плоскости в качестве неподвижных осей ось совпадающую с начальным положением диаметра О А (положение и ось к ней перпендикулярную. Внешние силы, приложенные к системе (бумага и насекомое), суть силы веса, нормальные реакции плоскости и реакция иглы на бумагу в точке О. Моменты всех этих сил относительно оси перпендикулярной к плоскости в точке О, равны нулю. Следовательно, сумма моментов количеств движения относительно оси постоянна. Теорема

площадей применима к движению системы в плоскости и так как система была вначале в покое, то постоянная площадей равна нулю. Таким образом:

Если насекомое вращается в каком-нибудь направлении вокруг точки О, то бумага должна поворачиваться в противоположном направлении. Подсчитаем сумму моментов количеств движения. Пусть в момент (рис. 187, II) насекомое находится в точке М. Обозначим через его полярные координаты, причем предполагается положительным. В тот же момент времени диаметр, выходящий из точки О, занимает положение образующее с отрицательный угол, который мы обозначим через —а, так что а обозначает абсолютное значение угла Момент количества движения насекомого равен а сумма моментов количеств движения различных точек бумаги равна где — момент инерции бумаги относительно угловая скорость бумаги.

Имеем уравнение

Надо выразить, что дуга окружности, которую пробежало насекомое, равна Таким путем, так как получаем:

где положено для краткости . С другой стороны, из треугольника имеем:

Заменяя в равенстве этим значением и а через получим:

Написав это в виде

и выполнив интегрирование, получим;

причем постоянную присоединять не нужно, так как при должно быть Таким образом, 0 выражено в функции Обращаясь к уравнениям (3) и (2), найдем тоже в функции Таким образом, движение найдено.

Найдем время Т, необходимое насекомому для достижения точки О, и соответствующие значения углов . На основании равенств (2) и (4) имеем:

Если насекомое будет продолжать перемещаться по окружности, то бумага будет продолжать поворачиваться в противоположном направлении.

3°. В предыдущем примере точка О бумаги закреплена неподвижно. Но можно осуществить вращательное движение указанного рода, не закрепляя никакой точки, следующим образом. Предположим, что лист бумаги, имеющий центр тяжести в точке О, может скользить без трения по горизонтальной плоскости, и начертим на этом листке две одинаковые окружности, касающиеся в точке О (рис. 188). Вообразим теперь двух насекомых одинаковой массы находящихся вначале в покое в точках А и диаметрально противоположных относительно точки О и начинающих затем перемещаться по обеим окружностям с одинаковой скоростью и в одинаковом направлении вращения таким образом, что в произвольный момент времени они занимают симметричные относительно О положения М и М].

Рис. 188.

Согласно теореме движения центра тяжести точка О, являющаяся центром тяжести всей системы, остается неподвижной, так как все начальные скорости равны нулю. Тогда листок бумаги будет вращаться вокруг неподвижной точки О в сторону, противоположную вращательному движению обоих насекомых, и уравнения движения будут идентичными с предыдущими, если предположить, как мы это сделали, что каждое из насекомых имеет половину массы насекомого из предыдущего примера.

Аналогичным образом наблюдатель, стоящий на идеально отполированной горизонтальной плоскости, может заставить себя вращаться. Для этого ему достаточно поднять оба кулака, расположив их симметрично относительно вертикали проходящей через центр тяжести и затем описывать ими две окружности в одном и том же направлении, сохраняя все время симметрию относительно оси Тогда корпус будет поворачиваться в противоположном направлении и по истечении некоторого промежутка времени может совершить полный оборот.

4°. Вообразим наблюдателя, стоящего неподвижно на идеально гладкой горизонтальной плоскости, с надетым на него поясом в виде желоба, в котором лежат два тяжелых шара, вначале неподвижных. Если наблюдатель при помощи рук заставит шары перекатываться по желобу таким образом, чтобы они вращались вокруг его корпуса в каком-нибудь определенном направлении, то центр тяжести системы останется на неподвижной вертикали, а корпус будет вращаться вокруг этой вертикали в противоположном направлении.

Задачи того вида, какой мы сейчас изложили, рассмотрены в различных заметках Гюйу (Guyou), Мориса Леви (Maurice Levy), Марселя Депре (Marcel Deprez), Пикара (Picard), Аппеля, Лекорню (Lесогnu, Comptes ren-dus, 2-е semestre 1894 и Bulletin de la Soci6t6 mathematique, novembre 1894) и в заметке Сен-Жермена. (Saint-Geггаain, Nouvelles Annales de Mathematique, 1895), в которой подробно изложен четвертый из рассмотренных примеров.