354. Пример I.

Тяжелая система в пустоте. Если бросить в пустоте произвольную свободную тяжелую систему, то ее центр тяжести будет описывать параболу. Проведем через центр тяжести оси с постоянными направлениями, причем ось направим по вертикали вверх. К относительному движению системы по отношению к этим осям можно применить теорему кинетической энергии. Единственными внешними силами будут силы веса, причем проекции веса точки на подвижные оси равны Имеем:

Но так как начало находится в центре тяжести, то суммы равны нулю и, следовательно,

Таким образом, кинетическая энергия в относительном движении по отношению к осям изменяется только вследствие действия внутренних сил. Если система является твердым телом, то относительная кинетическая энергия остается постоянной.

Пример II.

Исследовать движение в пустоте двух тяжелых точек А и В одинаковой массы связанных друг с другом невесомой и упругой нитью. Пусть длина нерастянутой нити равна , и допустим, что когда она вытягивается до длины , ее натяжение пропорционально ее удлинению

Когда нить растянута до длины обе точки брошены в пустоте.

Тогда центр тяжести О, совпадающий с серединой будет описывать параболу как тяжелая точка.

В относительном движении по отношению к осям постоянного направления, проведенным через главный момент относительно точки количеств относительных движений остается постоянным по величине и направлению (п. 350, пример 5°) и теорема площадей применима к проекциям движения на каждую из трех координатных плоскостей.

Если через обозначить координаты точки А, то координаты точки В будут и теорема площадей выразится тремя уравнениями:

Отсюда находим

Это показывает, что прямая все время остается в некоторой плоскости П постоянного направления, проходящей через О. Эта плоскость, перпендикулярная к является для относительного движения плоскостью максимума площадей. При этом указанное свойство не зависит от внутренних сил, т. е. от взаимодействия обеих точек.

Примем в таком случае эту плоскость П за плоскость и выберем в ней две осн с постоянными направлениями. Обозначим через полярные координаты точки А в этой плоскости. Координатами точки В будут Уравнение площадей имеет вид

Применим теорему кинетической энергии в относительном движении вокруг центра тяжести. Элементарные работы сил веса равны нулю (пример I). Следовательно, достаточно вычислить работу обеих сил натяжения нити, действующих на точки А и В. Эти натяжения играют роль взаимного притяжения обеих точек и имеют алгебраическое значение Обе точки вследствие симметрии имеют, очевидно, одну и ту же относительную скорость по отношению к осям Следовательно,

так как расстояние между точками равно Интегрируя, получаем:

или, наконец, заменяя его выражением в полярных координатах, получим:

Оба уравнения (1) и (2) определяют в функции Если желательно найти относительную траекторию одной из этих точек в плоскости П, то достаточно будет исключить из этих уравнений Таким путем получается дифференциальное уравнение траектории

где нужно взять знак или — в зависимости от того, будет ли с возрастанием величина также увеличиваться или, наоборот, уменьшаться.

При начальном значении многочлен, стоящий под корнем, положителен. Так как при и при этот многочлен отрицателен, то

очевидно, что должен заключаться между двумя корнями и может изменяться только от одного из них до другого. Согласно уравнению всегда изменяется в одном направлении и кривая аналогична той, которую описывает горизонтальная проекция сферического маятника (п. 227, рис. 170).

Необходимо, однако, заметить, что в наших формулах существенно предполагается, что все время больше, чем I. Если в какой-нибудь момент времени делается равным I, а затем становится меньше I, то нить не будет натянута, сила Т исчезнет, как если бы обратился в нуль, обе тяжелые точки станут независимыми и, начиная с этого момента, относительные траектории в плоскости П обратятся в отрезки прямых до того момента, пока нить снова не натянется и вновь не возникнет сила Т. В этом случае относительная траектория будет попеременно складываться из дуг кривой (3), когда и из отрезков прямых, соединяющих эти дуги, когда Для того чтобы такой случай мог представиться, необходимо и достаточно, чтобы величина I заключалась между корнями а и многочлена, между которыми изменяется

Рис. 196.

Пример III.

Найти движение двух тяжелых материальных точек А и В одинаковой массы связанных прямым невесомым стержнем длины и вынужденных скользить без трения, одна А — по неподвижной вертикальной оси а другая В — по неподвижной горизонтальной оси Внешними силами, приложенными к системе, являются веса обеих точек и нормальные реакции Р и обеих осей (рис. 196). Так как система имеет полные связи, не зависящие от времени, то достаточно применить теорему кинетической энергии в абсолютном движении. Центр тяжести О системы является серединой расстояние и угол имеет некоторое переменное значение 0. Координата точки А будет , точки и кинетическая энергия системы равна Элементарная работа веса точки А равна или — а элементарная работа веса точки В равна нулю. Следовательно, уравнение кинетической энергии будет

что после интегрирования и деления на принимает вид

где — постоянная. Это уравнение идентично уравнению движения математического маятника длины . Движение будет колебательным или круговым в зависимости от того, будет ли заключено между —1 и или больше 1.

Примечание. Можно также воспользоваться теоремой кинетической энергии в относительном движении вокруг точки Кинетическая энергия

относительного движения по отношению к осям постоянного направления, проведенным из точки равна Сумма элементарных работ весов обеих точек А и В на относительном перемещении относительно этих осей равна нулю, но работа нормальных реакций Р и на этом относительном перемещении будет, наоборот, отлична от нуля, так как относительные элементарные перемещения точек А и В для наблюдателя, связанного с осями являются дугами окружностей, описанными из как центра радиусами и А и и эти дуги не перпендикулярны к силам Р и Следовательно, если написать уравнение кинетической энергии для относительного движения по отношению к осям то оно будет содержать Р и Замечая, что точка А имеет относительно этих осей координаты

а точка В — координаты и что силы Р и имеют проекции получим для элементарных работ этих сил величину

Искомое уравнение кинетической энергии будет

Реакции Р и входят в это уравнение, которое может быть использовано совместно с другим для их определения. Но проще вычислить Р и непосредственно, напнсав уравнение абсолютного движения центра тяжести в проекциях на оси Таким путем получаются уравнения:

где

Вычислив вторые производные по от и заменив и их значениями, взятыми из равенства (4), получим Р и в функции 0.

Знаки реакций определяют направления этих реакций, которые на рис. 196 изображены так, как если бы они обе были положительными.

После вычисления получим:

Но уравнение (4) после дифференцирования по сокращения на множитель принимает вид

Подставляя выражения (4) и (5) в формулы для и Р, найдем:

Натяжение стержня. Обозначим через Т натяжение стержня. На точку А действуют три силы: ее вес, реакция Р и сила Т, считаемая положительной от А к В. Написав уравнение движения точки А в проекции на ось получим:

так как проекция ускорения точки А равна нулю. Отсюда