375. О трудностях, возникающих при приложении обычно принимаемых эмпирических законов трения. Исследования Пенлёве.

В двух первых примерах, которые мы рассмотрели (пп. 370 и 371), нормальная составляющая реакции обоих соприкасающихся тел, выраженная в функции переменных, определяющих положения и скорости точек системы, имеет такое же выражение, как если бы трение отсутствовало. Другими словами, это выражение не зависит от коэффициента Задачи, в которых такое явление имеет место, должны рассматриваться как наиболее частные и вместе с тем наиболее простые.

В более общих случаях, наоборот, выражения нормальных реакций в функции переменных, определяющих скорости и положения точек системы, зависят от коэффициента трения . В этих случаях как при трении во время движения, так и при трении в начале движения могут представиться некоторые особые обстоятельства, которые приводят или к неопределенностям, или к невозможности задачи. Эти особые обстоятельства были впервые указаны Пенлёве в его Lefon sur le frottement (Hermann, 1895) и в заметке, представленной Академии наук (Comptes rendus, т. CXXI, 1895, стр. 112). Не следует думать, что только в исключительных случаях могут оказаться возможными такие трудности. Наоборот, они возникают в наиболее общих случаях, по крайней мере при достаточно больших значениях эмпирического коэффициента трения

Поэтому необходимы новые эксперименты для нахождения законов трения, не приводящих более к этим затруднениям. Мы не можем здесь входить в подробности изысканий Пенлёве. Мы удовлетворимся, показав лишь на одном из многих приведенных в Lefons sur le frottement примеров, каковы те трудности, которые могут представиться при применении обычных законов трения.

Другие примеры можно найти в интересной статье Майера (Mayer) (Mayer) Zur Theorie der gleitenden Reibung (Berichte der K6nigl. Sachsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig, 3jutn 1901).

Рис. 217.

Рассмотрим две материальные точки М и массы 1, связанные невесомым твердым стержнем длины Точка М скользит с трением по неподвижной горизонтальной прямой с которой она не может сойти, и система движется в вертикальной плоскости проходящей через Найти движение, предполагая, что система находится под действием только силы тяжести (Пенлеве, , стр. 98).

Обозначим через угол (рис. 217), через х — абсциссу точки М и через — координаты точки

Внешними силами, действующими на систему являются полный вес приложенный в центре тяжести находящемся на середине отрезка и реакция оси составляющие которой по осям мы обозначим через

Уравнения движения центра тяжести, если обозначить штрихами производные по времени, получаются непосредственно в виде

По теореме моментов для движения относительно осей проходящих через точку получаем:

так как момент инерции относительно центра тяжести равен , а координаты точки М в системе равны — геометрических связей непосредственно получаем:

и подставляя в уравнения (1), находим:

Внося значения выводимые из этих уравнений, в уравнение (2), получаем:

Применим теперь эмпирические законы трения. Полную реакцию оси в точке М мы обозначим опять через . Абсолютное значение нормальной составляющей есть абсолютное значение величины касательная составляющая по абсолютному значению равна абсолютному значению величины Касательная составляющая имеет знак, противоположный знаку скорости точки М, и равна абсолютному значению где коэффициент трения. Имеем, следовательно, в зависимости от обстоятельств

Мы напишем

где . Рассматривая последовательно различные возможные случаи, мы увидим, что нужно брать следующие знаки:

Резюмируя сказанное, нужно выбирать таким образом, чтобы

Заменим теперь в равенстве его выражением и разрешим уравнения (3) и (4) относительно трех величин Полагая

получим:

Установив это, покажем сначала, что трудности, на которые указал Пенлёве, представятся при достаточно большом

Поместим систему в начальное положение, получающееся, если координате х придать произвольное значение а углу — произвольное значение заключенное между Далее сообщим системе скорости, характеризуемые значениями производных Наконец, допустим, что настолько велико, что

Мы сейчас увидим, что если положительно, то невозможно удовлетворить соотношению (6) подходящим выбором , а если отрицателен, то подходят оба значения . В первом случае невозможно никакое движение, а во втором случае возможны два различных движения.

В самом деле, если и если принять то, как мы видим, начальное значение будет положительным и из первого соотношения (8) получается, что начальное значение отрицательно. Следовательно, произведение будет отрицательным и соотношение (6) не будет выполняться. Если по-прежнему положить и принять то мы увидим на основании неравенства (9), что начальное значение отрицательно и на основании первого соотношения (8), что начальное значение положительно. Следовательно, произведение будет по-прежнему отрицательным и условие (6) не будет выполняться.

Формулы показывают, что при никакое движение несовместимо с эмпирическими законами трения.

Если, наоборот, предположить, что то таким же образом увидим, что оба предположения, одинаково допустимы: формулы, не позволяют сделать выбор между двумя соответствующими движениями.

Эти трудности исчезают, если достаточно мало. Например, если в рассматриваемой задаче то величина будет положительной, каков бы ни был знак . Тогда если сохранить те же начальные условия, то первое соотношение (8) показывает, что проекция отрицательна. Следовательно, если то необходимо принять и если то нужно взять . В обоих случаях формулы определяют единственное движение, начиная с начального момента, и это движение может быть найдено для произвольного промежутка времени интегрированием уравнений (8).

Если то возникает предварительная задача: нужно узнать, будет ли точка М оставаться неподвижной, т. е. будет ли оставаться равным нулю, или х, будучи равен нулю при уже не будет равен нулю в последующие моменты. Чтобы разрешить этот вопрос, нужно, как мы это излагали в общем виде в п. 369, сделать последовательно два следующих предположения: Г предположить, что т. е. что точка М неподвижна, и составить уравнения задачи, прилагая законы трения в покое; 2° предположить, что х отлично от нуля, и применить формулы (8), замечая, что если будучи

равен нулю, становится положительным, то его производная положительна, а если он становится отрицательным, то отрицательна. После этого видно, какое предположение не приводит к противоречиям. На этом предположении и нужно остановиться. Например, если угол очень близок к очень мало, то х остается равным нулю, если было равно нулю . В самом деле, предположим, что тогда должен быть положительным. Но так как то необходимо принять и из третьей формулы (8) находим Получается, следовательно, противоречие. Точно так же, полагая получим, что должен стать отрицательным. Но так как то нужно принять и из третьей формулы (8) находим Снова получается противоречие. Остается, таким образом, принять и применить к точке М закон трения в покое. Движение будет тогда подобно движению маятника.

Недостаток места не позволяет нам войти в большие подробности. Мы отсылаем читателя за полным анализом к «Lefons» Пенлёве. В результате этих теоретических исследований эксперименты по трению были предприняты Шома .

Различные авторы пытались устранить эти противоречия, допуская, что связи имеют зазор и принимая в расчет упругость. Но когда достаточно велико, движения, полученные при разных начальных условиях, могут как раз зависеть от предположений, сделанных о характере связей, и от зазора, которым они обладают, в то время как при достаточно малом этой трудности не возникнет.