371. Пример II.

Движение с трением вертикального колеса по горизонтальной прямой. Рассмотрим однородное колесо радиуса и массы М, поставленное вертикально на горизонтальную плоскость и начинающее катиться в вертикальной плоскости. Из соображений симметрии очевидно, что колесо останется в начальной вертикальной плоскости, которую мы примем за плоскость чертежа Пусть (рис. 213)

С — центр колеса,

В — точка, в которой колесо касается горизонтальной плоскости Ох,

х — абсцисса центра С,

— угол, на который колесо повернуто в положительном направлении от оси к оси отсчитываемый от начального положения.

Первая фаза. Центр С имеет горизонтальную скорость алгебраическое значение которой равно В то же время колесо вращается вокруг своего центра с угловой скоростью Точка колеса, находящаяся в , имеет скорость и, которая является результирующей скорости перемещения центра и скорости К вращения вокруг центра:

Допустим для определенности, что в момент абсцисса х равна нулю, а скорость и положительна. Тогда наиболее низкая точка колеса скользит по в положительном направлении и сила трения будет, следовательно, направлена в противоположную сторону. Силы, приложенные к твердому телу, суть вес нормальная реакция грунта и сила трения

Рис. 213.

Теорема движения центра тяжести в проекции на ось выражается здесь уравнением

так как координата у точки С постоянна. Имеем, следовательно, Теорема движения центра тяжести в проекции на ось выражается уравнением

Наконец, если обозначить через момент инерции колеса относительно оси, проведенной через С перпендикулярно к его плоскости, то по теореме момента количества движения, примененной к движению относительно центра тяжести, имеем:

так как момент силы трения относительно точки С равен

На основании этих формул центр С совершает прямолинейное равнозамедленное движение. Действительно, из уравнения (2) имеем:

где - начальное значение скорости Угловая скорость уменьшается также пропорционально времени:

где — начальное значение угловой скорости. Выражение (1) для а будет теперь такое:

где равно . Эта скорость и уменьшается пропорционально времени и обращается в нуль по истечении времени

Вторая фаза. В момент точка колеса, находящаяся в соприкосновении в В, имеет скорость, равную нулю. Теперь нужно узнать, будет ли последующее движение скольжением или качением. Можно предвидеть, что оно будет качением, т. е. что скорость и точки касания останется равной нулю. В самом деле, если она примет значение, отличное от нуля, то как бы это значение ни было мало, система будет вновь находиться в условиях, аналогичных начальным условиям, и сила трения скольжения снова приведет скорость и к нулю. Следовательно, начиная с момента Т будет происходить качение.

Если пренебречь трением качения, то касательная реакция горизонтальной плоскости будет тогда следовать закону трения скольжения в состоянии покоя, т. е. будет неизвестной силой, меньшей чем Мы проверим это свойство, показав, что Так как имеет место качение, то работы сил и веса будут, очевидно, равны нулю и движение качения будет равномерным. Имеем:

и уравнение движения центра тяжести показывает, что Следовательно, в этой второй фазе движения и остаются постоянными, начиная с момента времени Т и равными значениям которыми они в этот момент обладают и которые легко вычисляются из предыдущих формул. Наконец, и остается все время равным нулю, так что

Мы указали сейчас способ вычисления конечного значения скорости центра как функции начальных данных. Можно заранее найти эту скорость, если воспользоваться следующим приемом.

Исключая из уравнений (2) и (3), получаем

откуда, интегрируя, получаем

Величина (7) остается, следовательно, постоянной течение первой и второй фазы движения, так как уравнение (7), полученное исключением будет иметь место, каков бы ни был закон касательной реакции. В конечной фазе

Следовательно, подставляя эти значения в равенство (7), получим:

откуда находим V. Например, если при положительном мы будем иметь то конечное движение при качении будет таким, что оно будет происходить в сторону, противоположною начальному движению центра С.

Это легко осуществить, бросив колесо вперед после того, как ему было сообщено сильное вращательное движение Тогда колесо сначала удалится, а потом прикатится обратно.

Уравнение (7) обозначает, что в течение всей продолжительности движения материальная точка колеса, находящаяся в каждый момент над центром на расстоянии от него, имеет постоянную абсолютную скорость. Если Н колесо является настолько тонким, что его можно отождествить с материальной окружностью, то и точкой, скорость которой постоянна, является материальная точка, проходящая через наивысшую точку А.

Пример III.

Лестница (рис. 214) массы опирается на горизонтальный пол и на вертикальную стену Средняя линия лестницы предполагается расположенной в плоскости, перпендикулярной к стене и полу, которую мы примем за плоскость чертежа. Лестнице сообщена начальная охорость, причем так, что точка В приближается к точке О. Найти движение, допуская, что имеется трение на стене и на полу и что коэффициент трения равен на обоих концах единице

Рис. 214.

Заметим прежде всего, что так как коэффициент трения равен 1, то лестница в любом положении будет в равновесии. В самом деле, центр тяжести находится на середине лестницы (рис. 214). Если в точках А и В провести две прямые, образующие с нормалями к стенке и полу углы по 45° (угол трения в рассматриваемом случае), то точка пересечения этих прямых будет всегда находиться слева от вертикали, проходящей через точку и вследствие этого при любом наклоне лестницы будет существовать равновесие Заметим еще раз, что в рассматриваемом случае точка есть середина отрезка

После того как лестнице сообщен толчок, на нее будут действовать следующие силы: вес приложенный в точке нормальная реакция пола в точке А и сила трения в той же точке А, направленная от А к О и равная так как наконец, нормальная реакция стены в точке В и сила трения в той же точке В, направленная по Обозначим через а угол между лестницей и стеной, через — длину лестницы и через — ее момент инерции относительно оси, перпендикулярной к плоскости чертежа в точке Уравнения движения центра тяжести имеют вид

Применим теперь теорему моментов к относительному движению вокруг центра тяжести Это относительное движение является вращением с

угловой скоростью вокруг оси, проведенной через перпендикулярно к плоскости чертежа. Следовательно, имеем:

как это видно из непосредственного геометрического вычисления моментов сил относительно точки О. Из уравнений (1) определяем и вносим эти величины в уравнение (2). Получаем:

Но

Подставляя производные (4) в равенство (3), получим окончательно уравнение движения

Это уравнение аналогично уравнений движения математического маятника, подверженного сопротивлению среды, пропорциональному квадрату скорости

Для интегрирования положим

Тогда уравнение примет вид линейного уравнения относительно :

Общий интеграл этого уравнения

Если дана начальная угловая скорость соответствующая значению то

Формулы (1) позволяют вычислить и в функции и, следовательно, в функции только а. Предыдущие вычисления справедливы лишь до тех пор, пока и положительны. Если одна из этих реакций обращается в нуль, становясь потом отрицательной, то соответствующий конец честницы освобождается и уравнения движения должны быть изменены.

Если больше, чем то производная согласно равенству (6) будет вначале положительна, будет лостоянно возрастать и лестница будет скользить с возрастающей скоростью.

Если меньше, чем то будет вначале уменьшаться.

В этом случае может оказаться, что при некотором значении а величина обратится в нуль. Тогда лестница в соответствующем положении остановится, так как она в любом положении находится в равновесии.

Можно также исследовать случай, когда коэффициент трения имеет произвольное значение.