467. Теорема, аналогичная теореме Кёнига. Приложение к обручу.
Пусть 
абсолютные координаты точки массы от в какой-нибудь системе отсчета; 
— координаты центра тяжести 
относительные координаты той же точки по отношению к осям 
проведенным через центр О параллельно неподвижным осям. Обозначим через 
абсолютное ускорение точки О:
и через 
— относительное ускорение точки от относительно осей 
Обозначим, наконец, через М всю массу системы. Имеем:
Вычислим теперь энергию ускорений
Так как величины
равны нулю, то
Находим
что можно написать в виде
где через 
обозначена энергия ускорений, вычисленная для относительного движения вокруг центра тяжести.
Таким образом, мы получаем теорему, аналогичную теореме Кёнига для кинетической энергии.
Применим изложенный метод к задаче об обруче, исследованной в п. 411 (рис. 244), сохраняя те же обозначения.
Примем массу обруча за единицу. Обозначим через 
ускорение точки О и через 
— относительное ускорение точки 
обруча по отношению к осям с постоянными направлениями Ьххухгг, проходящими через точку 
Применяя предыдущую теорему, аналогичную теореме Кёнига, напишем
Относительное движение обруча вокруг точки 
является движением тела вращения, закрепленного в некоторой точке своей оси. Прилагая к этому движению обозначения предыдущего пункта, получим на основании равенства (14)
Остается вычислить 
Для этого обозначим через 
проекции абсолютной скорости точки 
на оси 
Чтобы выразить, что обруч катится, надо написать, что скорость той материальной точки обруча, которая касается плоскости в точке Н, равна нулю. Таким образом, имеем:
Так как мгновенная угловая скорость триэдра 
есть 
то проекции абсолютного ускорения точки О на оси 
равны
или, на основании равенств (15), они равны
Составляя сумму квадратов этих проекций и замечая, что 
найдем:
где мы не выписываем тех членов, которые не содержат 
Следовательно, окончательно имеем:
Обозначим по-прежнему через 
бесконечно малые углы, на которые нужно повернуть обруч вокруг осей 
чтобы перевести его из какого-нибудь положения в положение бесконечно близкое. Эти величины являются произвольными и вполне определяют перемещение обруча. Мы примем 
за параметры 
и по-прежнему получим:
Тогда мы можем составить левые части уравнений движения вида (10). Остается определить правые части. Для этого необходимо вычислить сумму работ приложенных сил
и привести ее к виду
будут тогда правыми частями уравнений. Эти величины имеют простой смысл. Проведем через точку Н касания с плоскостью три оси 
параллельные осям 
Тогда 
будут соответственно суммами моментов приложенных сил, взятых относительно этих
новых осей. Действительно, так как скорость частицы, находящейся в точке Н при перемещении, допускаемом связями, равна нулю, то бесконечно малое перемещение обруча является результирующим трех элементарных вращений 
вокруг осей 
проходящих через точку Н. Это и доказывает предложение.
Если единственной заданной силой является вес 
приложенный в центре 
то, очевидно, имеем
Тогда уравнения движения будут
или, если принять во внимание значение 
Два последних уравнения совпадают с уравнениями (9) и (10) п. 411, а первое есть уравнение Лагранжа относительно 
(п. 264).
Таким же путем можно исследовать общую задачу качения произвольного тяжелого тела вращения по плоскости. (См. Аппель, Developpements sur une forme nouvelle des Equations de la Dynamique, Journal de Mathematiques de M. Jordan, т. VI, fasc. 1, 1900.),
Движение шара, катящегося по поверхности вращения, рассмотрено в диссертации Ф. Нетера (Fritz Noether), представленной Мюнхенскому университету в 1909 г. (изд-во Teubner).
