477. Приложение преобразования Лежандра к уравнению Якоби

В предыдущей теории параметры и имели разный смысл. Но легко видеть, что в каноническую систему

переменные и входят почти симметрично, так как достаточно заменить Н величиной — Н, чтобы параметры заменились параметрами и наоборот. Поэтому уравнения Якоби

можно заменить уравнением

Если будет найден полный интеграл этого последнего уравнения, то равенства

определят интегралы уравнения (1).

От уравнения (2) к уравнению (3) можно перейти так же, заменив переменные и функцию У новыми переменными и новой функцией связанными со старыми следующими равенствами:

Повторяя вычисления, при помощи которых мы привели уравнения Лагранжа к канонической форме, мы увидим, что эти формулы влекут за собой следующие:

Следовательно, заменяя переменные по формулам (4), мы преобразуем уравнение (2) в уравнение (3). Полному интегралу уравнения (2) соответствует полный интеграл уравнения (3), и имеют место соотношения

Следовательно, уравнения влекут за собой уравнения

Преобразование (4) называется преобразованием Лежандра. Оно обобщает известное преобразование, которое изучают в курсах анализа для случая, когда Общую теорию контактных преобразований можно найти в сочинении Гурса «Об уравнениях с частными производными» .