IV. Другие задачи; применение осей, движущихся относительно тела и относительно пространства; трение и сопротивление среды

400. Пример применения осей, движущихся относительно тела и относительно пространства, для вывода общих уравнений движения тела вращения, закрепленного в точке своей оси.

В п. 386 мы указали общий метод составления урайнений движения, когда пользуются осями, движущимися в теле и в пространстве. Мы дадим сейчас приложение этого метода, рассматривая такой частный случай физического тела, эллипсоид инерции которого относительно неподвижной точки О является эллипсоидом вращения. Уравнения, которые мы таким образом установим, были использованы Пюизё (Puiseux) в теории вращения Земли вокруг своего центра, а также Рёзалем и Слессером (Resal et Slesser, Quarterly Journal, 1861).

Обозначая неподвижные оси через и считая, что эллипсоид инерции относительно точки О является эллипсоидом вращения, выберем следующие подвижные оси (рис. 234): ось направляем вдоль оси вращения эллипсоида, ось — перпендикулярно к плоскости а ось — перпендикулярно к плоскости причем ориентация триэдра должна быть такой же, как и ориентация триэдра (рис. 234).

Рис. 234.

При этих условиях ось лежит в плоскости и положение подвижного триэдра определяется углом который считаем положительным в положительном направлении вращения вокруг и углом который считаем положительным в полржительном направлении вращения вокруг Для определения мгновенной угловой скорости вращения триэдра заметим, что этот триэдр может быть приведен из заданного положения в положение, бесконечно близкое, поворотом на угол вокруг а затем поворотом на угол вокруг Следовательно, угловая скорость вращения триэдра есть результирующая двух угловых скоростей: вращения вокруг вокруг Ее составляющие по осям имеют значения

Что касается мгновенной угловой скорости вращения твердого тела, то она может быть получена следующим образом. Если и 0 известны, то известно положение триэдра и остается только определить положение тела относительно этого триэдра. Для этого достаточно знать угол который образует с осью какая-нибудь прямая в плоскости неизменно связанная с телом, считая этот угол положительным в сторону положительного вращения вокруг оси

Тогда тело можно переместить из какого-нибудь одного положения в другое бесконечно близкое к нему положение, повернув его на углы вокруг осей Мгновенная угловая скорость вращения тела есть результирующая угловых скоростей вращения вокруг тех же трех осей, и мы получаем для составляющих этой угловой скорости

Главный момент количеств движения. Так как эллипсоид инерции в точке О есть эллипсоид вращения вокруг то оси являются главными осями инерции и моменты инерции относительно равны одной и той же постоянной А, несмотря на то, что эти оси перемещаются в теле. Конец а главного момента количеств движения относительно точки О имеет относительно подвижных осей координаты

Уравнения движения. Обозначим через главный момент сил относительно точки О и через

его проекции на оси Чтобы получить уравнения движения, нужно написать что абсолютная скорость точки а равна и параллельна . Таким путем получаются три общих уравнения, указанных в

В рассматриваемой случае имеют вышенаписанные значения (60). С другой стороны,

Поэтому уравнения движения принимают вид

Заменяя здесь их вышенаписанными выражениями, обозначая штрихами производные по и сокращая, получим:

Эти уравнения особенно полезны, когда равно нулю, не зависят от т. е. от угла, на который повернулось тело вокруг своей оси. Тогда постоянно и первые два уравнения определяют в функции Это как раз имеет место в методе Пюизё для движения Земли вокруг ее центра тяжести. Можно заметить, что если умножить первое уравнение на второе на и третье на и сложить, то получится уравнение кинетической энергии. Таким путем получается: