ГЛАВА XXV. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕОРЕМЫ ЯКОБИ И ПУАССОНА. ПРИНЦИПЫ ГАМИЛЬТОНА, НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ И НАИМЕНЬШЕГО ПРИНУЖДЕНИЯ

I. Канонические уравнения

471. Преобразование Пуассона и Гамильтона.

В конце первого тома, в п. 291 и в следующих, мы видели, как можно преобразовать уравнения движения точки, взятые в форме Лагранжа, к форме, названной канонической.

Такой же метод применим к уравнениям движения любой голономной системы, положение которой зависит от координат

Мы это сейчас покажем, отсылая за всеми подробностями вычислений к главе XVI, в которой они выполнены для случая Уравнения Лагранжа будут

Примем, как Пуассон, в качестве новых переменных в место величины

Уравнения (2), будучи линейными относительно, могут быть разрешены и дают для этих величин выражения, линейные относительно Посмотрим, во что обратятся уравнения (1), если сделать такое преобразование переменных.

Оставим переменную постоянной и дадим переменным и произвольные бесконечно малые независимые приращения Тогда все получат приращения определяемые соотношениями (2), которые предполагаются разрешенными относительно

Функция Т, зависящая от переменных получит тогда изменение

или в силу уравнений (2)

что, полагая , можно написать в виде

Таким образом получается первое выражение для дифференциала Допустим, с другой стороны, что К выражено через новую систему переменных Когда остается постоянным, а эти переменные получают произвольные вариации тогда

Это новое выражение для должно быть тождественно предыдущему, каковы бы ни были Следовательно, имеем

В этих уравнениях частные производные от Т взяты в предположении, что Т выражено через и а частные производные от в предположении, что К выражено через и На основании соотношений (3) уравнения Лагранжа (1) принимают вид

Эти уравнения первого порядка определяют переменные в функции времени.

Во всем дальнейшем мы будем предполагать, что составляющие по осям приложенных сил, кроме реакций связей, являются частными производными по координатам некоторой функции от координат и времени. Эти условия будут, в частности, выполняться, если приложенные силы имеют силовую функцию, но тогда будет содержать только координаты и не будет зависеть от времени.

При таком предположении, так как координаты различных точек являются функциями параметров и быть может времени то будет функцией от не содержащей

величин так что частные производные равны нулю. Кроме того, имеем Положим тогда

Получим

и уравнения (4) примут вид

Это и будут канонические уравнения движения, данные Гамильтоном. Они образуют систему уравнений первого порядка, определяющих в функции времени и произвольных постоянных.

Частный случай, когда связи не зависят от времени. Если наложенные на систему связи не зависят от времени, то параметры можно всегда выбрать таким образом, чтобы выражения координат различных точек системы в функции этих параметров не содержали явно Тогда Т будет однородной функцией второй степени относительно q (п. 445) и по теореме об однородных функциях будет

так как равно . В этом случае функция К обращается в следующую:

и мы имеем

Вычисления же, которые нужно выполнить, чтобы перейти от квадратичной формы Т, выраженной через к форме Т, выраженной через совпадают с теми, которые нужно выполнить, чтобы перейти от формы квадратичной к форме, ей сопряженной.

Случай, когда связи не зависят от времени и существует силовая функция-, интеграл энергии. Добавим к предположениям предыдущего случая еще одно дополнительное условие, что существует силовая функция, т. е. что функция зависит от координат различных точек, но не от времени. Тогда, так как по предположению выражения координат как функций не содержат то обращается в функцию от не содержащую . В этом случае теорема кинетической энергии приводит к интегралу

Это можно легко вывести из канонических уравнений. Действительно, в рассматриваемом случае функция не содержит явно и выражается только через переменные Во время

движения эти переменные и являются функциями времени и через них Н также становится функцией времени. Тогда мы имеем

Но на основании канонических уравнений каждый член суммы, стоящей в правой части, равен нулю. Следовательно, во время движения имеем:

Примечание. Если Н содержит явно то

Так как сумма в силу канонических уравнений равна нулю, то находим

Преобразование Пуассона — Гамильтона всегда возможно. Преобразование основано на возможности разрешить относительно линейные уравнения (2). Достаточно показать, так же как в п. 294, что определитель коэффициентов при неизвестных не может быть равен нулю.

По вопросу о преобразовании Пуассона — Гамильтона и о преобразованиях переменных, не изменяющих каноническую форму уравнений (6), можно указать на исследование: Vergne (Вернь), .