487. Геодезические линии.

Если силовая функция равна нулю, т. е. если на систему, предполагаемую неголономной, не действуют никакие силы, то говорят, что траектории являются геодезическими линиями, распространенными на -мерное пространство, обобщая наименование, данное кривым, описываемым на гладкой поверхности материальной точкой, на которую не действует никакая сила. В этом случае для получения траекторий нужно искать кривые, обращающие в минимум интеграл

Нахождение движения голономной системы со связями, не зависящими от времени, под действием сил, имеющих силовую функцию может быть приведено к задаче о геодезических линиях. В самом деле, для нахождения траекторий этого движения нужно обратить в минимум интеграл

где функция зависит от Рассмотрим форму, квадратичную относительно дифференциалов

Тогда задача приведется к нахождению минимума интеграла

что является задачей о геодезических линиях.