II. Приложения уравнений Лагранжа

445. Интеграл энергии.

Если связи не зависят от времени и осуществляются без трения, то теорема кинетической энергии выражается уравнением

в которое входят элементарные работы только заданных сил. В частности, если эти силы имеют силовую функцию то существует интеграл энергии Эти теоремы легко установить вновь, исходя из уравнений Лагранжа.

Когда связи не зависят от времени, можно всегда выбрать параметры таким образом, чтобы координаты выраженные через эти параметры, не содержали явно времени При этих условиях имеем:

Следовательно, уравнение кинетической энергии напишется так:

Это равенство, будучи следствием принципа Даламбера, должно быть также следствием уравнений Лагранжа. В этом можно легко убедиться следующим образом. В рассматриваемом случае Т является однородным многочленом второй степени относительно . Вычисляя на основании уравнений Лагранжа величину получим

В силу теоремы Эйлера об однородных функциях выражение

равно . С другой стороны, так как Т не содержит явно то

Поэтому

что и является уравнением кинетической энергии.

Первый интеграл этого уравнения получается каждый раз, когда является полным дифференциалом функции от Тогда имеем

Такой результат получится, как мы видели, в том случае, когда заданные силы имеют силовую функцию

Так как интеграл энергии является следствием уравнений Лагранжа, то можно упростить интегрирование последних, заменив наиболее сложное из них интегралом энергии.

Приведенные выше вычисления были выполнены при существенном предположении, что связи не зависят от времени. В противном

случае в уравнение изменения кинетической энергии вошла бы работа реакций, так как тогда нельзя более полагать, что координаты выраженные через не содержат явно времени