411. Обруч.

Представим себе тяжелое твердое тело, для которого выполняются следующие условия: 1° тело оканчивается ребром, имеющим форму окружности К радиуса а; 2° центр тяжести тела совпадает с центром окружности К; 3° эллипсоид инерции относительно центра тяжести является эллипсоидом вращения вокруг перпендикуляра к плоскости окружности.

Допустим далее, что это тело заставляют катиться без скольжения по неподвижной горизонтальной плоскости П.

Интегрирование этой задачи механики может быть приведено к квадратурам, если ввести в качестве аналитического элемента гипергеометрическую функцию Гаусса. Это обстоятельство имеет, в частности, место для движения обруча.

Пусть Н — точка касания окружности К с неподвижной плоскостью (рис. 244). Для изучения движения тела вокруг своего центра тяжести возьмем сначала три оси постоянного направления, причем ось направим по вертикали вверх. Далее возьмем три подвижные оси следующим образом: 1° ось — нормаль к плоскости окружности К; 2° ось — перпендикуляр к плоскости ось — перпендикуляр к двум первым.

Ось является горизонтальным диаметром окружности ось является линией наибольшего восходящего уклона плоскости окружности; точка Н находится на отрицательной части оси

Эти подвижные оси тождественны с теми, которыми мы пользовались в для изучения движения тела вращения, закрепленного в одной из

точек своей оси. Так же как и в том пункте, мы обозначим через углы и через — составляющие по осям мгновенной угловой скорости вращения триэдра

Если положение триэдра известно, то, для того чтобы узнать положение тела, достаточно будет знать еще угол который образует радиус окружности К, неизменно с ней связанный, с осью Мгновенная угловая скорость тела будет тогда результирующей угловой скорости триэдра и угловой скорости вокруг оси Следовательно, составляющие этого вращения будут (п. 400):

Обозначим через проекции абсолютной скорости центра тяжести на подвижные оси

Рис. 244.

Так как эти оси совершают мгновенное вращение с угловой скоростью то проекции абсолютного ускорения точки на те же оси на основании известных формул (т. 1, п. 61) будут:

Силы. Положим для простоты, что масса тела равна единице. Силы, действующие на тело, следующие:

1° вес приложенный в точке с проекциями на оси равными

2° реакция плоскости, приложенная в точке Н и имеющая проекции

Уравнения движения могут быть составлены следующим образом.

Уравнения движения центра тяжести. Проекция ускорения точки на каждую из осей равна сумме проекций внешних сил на ту же ось. Таким образом, получаются три уравнения:

в которых нужно положить

Уравнения движения вокруг центра тяжести. Обозначим через А, В, С моменты инерции обруча относительно осей Пусть в относительном движении вокруг точки вектор представляет собой главный момент количеств движения относительно точки Этот вектор имеет на оси проекции

С другой стороны, главный момент внешних сил относительно состоит из момента веса, равного нулю, и момента реакции приложенной в точке Н с координатами . Следовательно, главный момент имеет проекциями моменты реакции относительно осей

Для того чтобы выразить теорему моментов в относительном движении вокруг точки напишем, что относительная скорость точки с по отношению к осям постоянного направления, проведенным через точку равна вектору Таким путем получаются уравнения (п. 386):

или, так как

Геометрические условия. Чтобы выразить, что окружность К катится по плоскости, нужно написать, что скорость материальной точки касания Н равна нулю. Эта скорость является геометрической суммой скорости поступательного движения осей равной и параллельной скорости точки и скорости, вызванной вращением вокруг точки Эта последняя скорость имеет составляющие по осям равные где х, у, z суть координаты точки Записав, что проекции скорости материальной точки Н на оси равны нулю, получим таким образом уравнения

Находя из этих равенств и и подставляя их в уравнения (6), получим систему шести уравнений (6) и (7), определяющих

Исключая из них получим три уравнения, определяющих в функции

Чтобы закончить вычисления, можно поступить следующим образом.

Исключим X из первого уравнения (6) и из последнего уравнения (7). Получим

или, заменяя их значениями из уравнений (8),

Присоединим к этому уравнению второе из уравнений (7):

Мы получим таким образом два уравнения, которые могут служить для определения в функции . В самом деле, заменим в них через тогда множитель исчезнет и получатся два уравнения

образующих систему линейных однородных уравнений, определяющих в функции . Найдя из первого уравнения и внеся во второе, получим для определения уравнение второго порядка

Из этого уравнения определяется в функции 0. Первое из уравнений (11) служит для определения Присоединяя к нему уравнение энергии

получим в функции при помощи квадратуры. Правая часть этого уравнения есть удвоенная работа веса , где С обозначает координату точки G.

Интегрирование уравнения (12). При помощи подстановки

уравнение (12) приводится к виду

Это уравнение гипергеометрического ряда Гаусса, в котором

Известно, что общий интеграл уравнения Гаусса (Собрание сочинений, т. III стр. 210) есть

где обозначают две произвольные постоянные. Следовательно,

После этого получаем:

что выражает в виде гипергеометрического ряда. Наконец, из уравнения энергии, в котором определяется в функции 8 при помощи квадратуры.

Для интегрирования уравнения (12) можно использовать также подстановку, указанную Кортевегом . Действительно, это уравнение при помощи подстановки

преобразуется в следующее:

Новые подстановки

приводят его к виду

В этой форме уравнение отождествится с уравнением гипергеометрического ряда, если положить

Следовательно, оно допускает частный интеграл

Полагая последовательно в этом интеграле

получим общий интеграл уравнения (10) в виде

Это решение имеет преимущества в двух частных случаях: когда может достигать значения 0° или 180° и когда к такому значению неограниченно приближается.

Во-первых, оно показывает, что в одном и том же движении угол не может принимать оба значения, если только не равняется все время нулю. В самом деле, подстановка в случае, когда V отлично от нуля, и подстановка в случае, когда отлично от нуля, приведут к бесконечному значению для ибо тогда аргумент ряда обратится в положительную единицу, в то время как будет равно нулю. Очевидно, что бесконечному значению будет отвечать бесконечное значение кинетической анергии, а последняя такого значения принимать не может.

Во-вторых, оно показывает, что для того, чтобы могло принимать, например, значение постоянная должна равняться нулю.

Следовательно, в этом случае выражение для примет более простую форму, а именно:

Очевидно, что движение, в котором угол принимает значение, равное 0°, может осуществляться лишь в тех случаях, когда, как для обруча, вся масса тела сосредоточена в одной плоскости (Кортевег, loc. cit.).