III. Малые колебания голономных систем около положения устойчивого равновесия

449. Устойчивость равновесия.

Как мы знаем (п. 173), если связи голономной системы не зависят от времени и если заданные силы имеют силовую функцию то необходимыми и достаточными условиями равновесия будут

где обозначают независимых параметров, определяющих положение системы. Эти равенства являются необходимыми, но недостаточными условиями того, чтобы функция имела максимум или минимум. Если в каком-нибудь положении системы функция имеет максимум, то это положение является положением устойчивого равновесия. Эта теорема, высказанная еще Лагранжем, была доказана Лежен-Дирихле (Journal de Liouville) следующим образом.

Мы можем всегда предполагать, что значения параметров, соответствующих положению равновесия, суть и что для этих значений так как определяется лишь с точностью до постоянной. Равновесие будет устойчивым, если, отклонив систему произвольным образом, но очень мало от ее положения равновесия и сообщив различным точкам очень малые начальные скорости, мы приведем систему в движение, при котором она очень будет отклоняться от этого положения равновесия. Скажем более точно. Пусть — сколь угодно, малое наперед заданное положительное число; указанное положение равновесия будет устойчивым, когда при данном можно найти такое достаточно малое положительное число что если начальные значения параметров скоростей различных точек системы будут по абсолютному значению меньше то в течение всего времени движения абсолютные значения будут меньше, чем .

Напомнив это определение, допустим, что при функция имеет максимум и равна нулю. Нужно доказать, что равновесие устойчиво. Так как имеет максимум, то можно найти такое достаточно малое положительное число что для всех систем значений заключенных между

и или равных этим пределам, функция отрицапельна, за исключением единственных значений при которых функция равна нулю. Придадим, в частности, одной из переменных предельные значения а всем остальным переменным Як дадим все возможные системы значений, заключенные между или равные этим пределам. Пусть наибольшее значение функции при таких значениях параметров. Я., будет положительным, отличным от нуля числом, так как при равном функция не может обращаться каковы бы ни были значения остальных параметров в указанных пределах. Делая последовательно равными мы получим таким образом к положительных чисел Обозначим наименьшее из них через Р. Тогда если один из параметров станет равным а остальные останутся заключенными между то обязательно будем иметь

Установив это, отклоним систему от положения равновесия, придав параметрам какие-нибудь значения заключенные между и сообщив различным точкам начальные скорости Применяя к возникшему после этого движению теорему кинетической энергии, получаем

положительна. Кроме того, она может быть сделана сколь угодно малой, так как она непрерывна и обращается в нуль, когда все начальные значения параметров и все начальные скорости равны нулю. Точнее, можно всегда найти число меньшее и настолько малое, что если взяты по абсолютному значению меньше чем то

Тогда из теоремы кинетической энергии получим:

Если начальные значения параметров заключены между то во время движения ни один из них не может достигнуть этих пределов, так как, если они будут достигнуты хотя бы одним параметром, то станет отрицательным и тогда отрицательной станет также и кинетическая энергия, что невозможно. Тем самым теорема доказана.

Пределы скоростей. Можно также указать и высшие пределы скоростей в течение всего времени движения. В самом деле, так как отрицательно, вследствие того, что параметры остаются заключенными между то

Если обозначить через скорость точки массы то получим

Если очень мало, то очень малым будет и этот предел, так как при стремящемся к нулю, Р также стремится к нулю.

Можно получить более узкие пределы для скоростей, если заметить, что является положительной квадратичной формой относительно Так как при этом должно оставаться меньше чем то отсюда вытекает, что остаются по абсолютным значениям меньше некоторой величины, которую в каждом отдельном случае можно установить.

Примечание I. Доказательство основано на существенном предположении, что функция зависит от всех параметров Если бы функция зависела только от некоторых из них, например от причем имела бы максимум и обращалась бы в нуль при то положение, соответствующее значениям где — произвольные постоянные, было бы положением равновесия, но это равновесие не было бы устойчивым. Если в этом случае немного отклонить систему от положения равновесия и сообщить ее точкам очень малые скорости, то получится движение, при котором останутся очень близкими к нулю, но остальные параметры уже не будут близкими к Однако скорости останутся по-прежнему очень малыми. Представим себе, например, тяжелое тело вращения, закрепленное в какой-нибудь точке его оси, и воспользуемся обозначениями п. 395. В этом случае существует силовая функция

которая зависит только от , в то время как положение тела зависит от трех углов Эйлера Функция имеет максимум при Соответствующие положения тела, которых будет бесчисленное множество, являются положениями равновесия, что видно также непосредственно, так как ось вертикальна и центр тяжести находится под точкой подвеса. Но эти положения не будут устойчивыми в строгом смысле этого слова, так как если сообщить телу сколь угодно малое начальное вращение вокруг вертикали, то получится движение, при котором точки будут удаляться на конечные величины от их положений равновесия.

Примечание II. Обращение теоремы Лежен-Дирихле. Рассмотрим положение равновесия системы, при котором все производные равны нулю, но не имеет максимума. Представляется вероятным, что соответствующее положение равновесия неустойчиво. Однако это

предложение строго доказано лишь при некоторых ограничениях. Другие авторы, как Fejer (Crelle, т. 131) и Rethy (там же, т. 133), рассматривали устойчивость в сопротивляющейся среде.