473. Частный случай, когда t не содержится в коэффициентах уравнения Якоби.

Когда не содержится в коэффициентах уравнения то этому уравнению можно удовлетворить функцией вида

где обозначает постоянную, функцию от не зависящую от Подставляя это выражение V в уравнение мы получим для определения уравнение

Достаточно найти полный интеграл уравнения

содержащий, кроме еще постоянных из которых ни одна не является аддитивной. Тогда, приняв

мы получим полный интеграл уравнения Якоби с постоянными , из которых последняя заменяет собой

постоянную Конечные уравнения движения и если обозначить через , обратятся в следующие:

Первые уравнения не содержат времени и поэтому определяют геометрические положения, через которые проходит система при своем движении; из последнего уравнения находим время, необходимое системе для достижения какого-нибудь из этих положений.

Случай, который мы только что рассмотрели, представится, в частности, тогда, когда силы имеют силовую функцию и когда вследствие того, что связи не зависят от времени, координаты различных точек системы, выраженные в функции не содержат Тогда не будет содержать явно . В этом случае постоянная будет постоянной энергии, так как уравнение если в нем заменить функциями обратится в следующее:

что является интегралом энергии.

Примечание. Метод, которым мы воспользовались, чтобы упростить нахождение полного интеграла, в случае, когда уравнение Якоби не содержит применим также к случаю, когда любая другая переменная, например не содержится в этом уравнении. В этом случае нужно стараться удовлетворить уравнению, полагая

где — некоторая постоянная, а уже не зависит от Тогда задача сведется к нахождению полного интеграла уравнения, содержащего на одну независимую переменную меньше.